Calculadora de fatorial | Calculadora n! (números grandes, BigInt)

Calcula n! com BigInt até 1000! sem perder um único dígito. Inclui desenvolvimento passo a passo, notação científica, fatorial duplo, subfatorial (derangement), permutações e combinações — tudo instantâneo e grátis.

Valor de n (0 – 1000)

Calcula-se o produto de todos os inteiros de 1 a n. 0! = 1.

Valor de n (fatorial duplo n!!)

Se n for par: n×(n−2)×...×2. Se n for ímpar: n×(n−2)×...×1.

Valor de n (subfatorial / derangement !n)

O número de permutações em que nenhum elemento permanece na sua posição original.

Valor de x (fatorial decimal / não inteiro)

Um fatorial não inteiro define-se através da função Gama: x! = Γ(x+1). Ex. 0,5, 2,5, 4,5, -0,5.

Compara dois fatoriais: a razão entre o maior e o menor (n!/m!) é calculada como um número inteiro exato.

Valor A

Valor B

Faz uma operação aritmética entre dois fatoriais: soma, subtração, multiplicação ou divisão de n! e m!. A multiplicação e a soma/subtração usam sempre BigInt exato; a divisão mostra o quociente inteiro exato quando m! divide n! (caso contrário mostra o quociente decimal aproximado).

Valor de n (n!)

Valor de m (m!)

Operação

⚙️ Definições avançadas — limite do desenvolvimento, notação científica, separador de milhares

Limite do desenvolvimento passo a passo

Limiar de notação científica (dígitos)

Mostrar separador de milharesAgrupar o número inteiro como 1.000

Resposta rápida O fatorial (n!) é o produto de todos os inteiros positivos de 1 a n; 0! define-se como 1. O resultado cresce extremamente depressa e ultrapassa os limites de um Number padrão por volta de 18–20!; esta ferramenta usa BigInt para dar o resultado exato até 1000!, com todos os dígitos, mais a notação científica.

1Definição de 0! (produto vazio)

171n ≥ este valor faz overflow do Number

158dígitos em 100!

2568dígitos em 1000!

⚙️ Nota sobre a precisão: todos os resultados de fatorial, fatorial duplo, subfatorial (derangement), permutação e combinação são calculados com a aritmética BigInt do JavaScript — não se aplica nenhum arredondamento decimal e nunca se perde nenhum dígito. Os valores de n estão limitados ao intervalo 0–1000 (mesmo 1000! é calculado em poucos milissegundos com plena precisão). A notação científica e a aproximação de Stirling só são mostradas para facilitar a leitura e a verificação cruzada; o resultado subjacente é sempre o valor exato.

🔢 Calculadora de fatorial — ToolPico ↗

O que é um fatorial e como se calcula?

Um guia completo — com fórmulas e exemplos — sobre o fatorial, a sua regra recursiva, BigInt para números grandes, o fatorial duplo e o subfatorial.

Um fatorial, indicado por um ponto de exclamação (!) após um número inteiro n, é a operação matemática que representa o produto de todos os inteiros positivos de 1 a n: n! = n × (n−1) × (n−2) × ... × 2 × 1. O fatorial é um dos elementos fundamentais da combinatória, das permutações, das combinações, dos cálculos de probabilidade e dos desenvolvimentos em série (ex. a série de Taylor).

Qual é a fórmula do fatorial e a sua regra recursiva?

Resposta rápidaA fórmula do fatorial é n! = n × (n−1) × ... × 2 × 1; também pode ser escrita de forma recursiva n! = n × (n−1)!, com 0! = 1 como caso base (a regra do produto vazio). Para valores muito grandes de n, o valor aproximado pode ser encontrado com a fórmula de Stirling: n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n.

Caso base: 0! = 1, 1! = 1.
Recursão: cada n! é o (n−1)! anterior multiplicado por n.
Velocidade de crescimento: o fatorial cresce ainda mais depressa do que uma função exponencial (a^n) — a isto chama-se crescimento superexponencial.

Porque se calcula o fatorial com BigInt para números grandes?

Resposta rápidaO tipo Number habitual do JavaScript só consegue representar inteiros com exatidão até aproximadamente 2^53 (≈9 mil biliões); esse limite é ultrapassado por volta de 18!–19!, e a partir de 171!, um Number faz overflow para infinito. Esta ferramenta realiza cada passo da multiplicação com BigInt, produzindo um resultado exato, com todos os dígitos, até 1000!.

Na prática, isto significa que perguntas como «quantos dígitos tem?» ou «em que dígitos termina exatamente?» só podem ser respondidas corretamente com BigInt (ou uma aritmética de precisão arbitrária semelhante). Uma calculadora ou aplicação padrão costuma mostrar um valor arredondado/aproximado a partir de 20!; esta ferramenta, pelo contrário, armazena o valor exato e mostra-o quando pedido.

O que é o fatorial duplo (n!!) e o subfatorial (!n)?

Resposta rápidaO fatorial duplo n!! é um produto que diminui de 2 em 2 a cada passo (ex. 7!!=7×5×3×1=105). O subfatorial !n (número de derangement) é o número de permutações de um conjunto de n elementos em que nenhum elemento permanece na sua posição original (ex. !4=9). Ambos são usados em problemas de combinatória especializados (desenvolvimentos em série, probabilidade, problemas de distribuição).

Exemplos de fatoriais, de pequeno a grande

Os valores de n! mais pesquisados — resultado exato e número de dígitos. Para resultados exatos e decimais, usa a calculadora acima.

Valores de fatorial pesquisados com frequência (resultado exato, calculado com BigInt)
n	n!	Dígitos

Cálculos populares

Calculadoras relacionadas: permutação, combinação e zeros finais

Os usos mais habituais do fatorial — seleção ordenada (permutação), seleção não ordenada (combinação), e o número de zeros finais de n! — todos com resultados BigInt exatos.

🔢Permutação (nPr)

O número de ordenações ordenadas de r elementos escolhidos entre n: nPr = n! / (n−r)!.

🎯Combinação (nCr)

O número de seleções não ordenadas de r elementos entre n: nCr = n! / (r!·(n−r)!).

0️⃣Número de zeros finais

Encontra em quantos zeros termina n!, com a fórmula de Legendre: ⌊n/5⌋+⌊n/25⌋+...

Tabelas de referência e informação prática

Valores exatos citáveis: fatoriais pequenos, número de dígitos para fatoriais grandes, fatorial duplo, subfatorial, e fórmulas de permutação/combinação.

Valores exatos de 0! – 20!
n	n!

Fatoriais grandes — notação científica e número exato de dígitos (calculado com BigInt)
n	Notação científica	Dígitos

Nota: 170! é o maior fatorial calculável sem overflow no tipo IEEE-754 double (Number); 171! devolve Infinity com Number.

Tabela do fatorial duplo (n!!), n=0–12
n	n!!

Tabela do subfatorial / derangement (!n), n=0–12
n	!n

Fórmulas de permutação / combinação e exemplo (n=10, r=3)
Fórmula	Significado	Exemplo (n=10,r=3)
P(n,r) = n! / (n−r)!	Seleção ordenada (permutação)
C(n,r) = n! / (r!·(n−r)!)	Seleção não ordenada (combinação)
P(n,r) / r!	Relação entre P e C	Igual a C(n,r)

Glossário de termos do fatorial

Definições breves dos termos essenciais usados no fatorial e na combinatória.

Fatorial (n!)O produto de todos os inteiros positivos de 1 a n. 0! define-se como 1.

Produto vazioA regra segundo a qual um produto de nenhum número é igual a 1; a base matemática de 0! = 1.

Fatorial duplo (n!!)Um produto que começa em n e diminui de 2 em 2 a cada passo. Termina em 2 se n for par, em 1 se for ímpar.

Subfatorial / Derangement (!n)O número de permutações em que nenhum elemento permanece na sua posição original.

Permutação (nPr)O número de formas ordenadas de dispor r elementos escolhidos entre n: n!/(n−r)!.

Combinação (nCr)O número de formas não ordenadas de escolher r elementos entre n: n!/(r!(n−r)!).

Aproximação de StirlingUma fórmula para aproximar n! para valores grandes de n: n! ≈ √(2πn)·(n/e)^n.

Notação científicaUma forma de escrever números muito grandes como a×10^b usando os primeiros dígitos significativos.

Número de dígitosO número de dígitos na representação decimal de um número inteiro; para n! é aproximadamente log10(n!)+1.

Número de zeros finaisEm quantos zeros termina n!; igual ao número de fatores de 5 no produto (fórmula de Legendre).

BigIntUm tipo de dados do JavaScript capaz de representar exatamente inteiros arbitrariamente grandes, sem arredondamento.

Crescimento superexponencialA propriedade do fatorial de crescer ainda mais depressa do que as funções exponenciais (a^n).

Guias detalhados

Respostas detalhadas às perguntas mais frequentes sobre o fatorial.

Quantos dígitos tem o fatorial de 100? Como se calcula?

100! tem exatamente 158 dígitos e é aproximadamente igual a 9,332621544×10^157. O número de dígitos também pode ser estimado tomando a parte inteira de log10(100!) e somando 1 (a aproximação de Stirling dá ≈157,97, +1 = 158). Introduz 100 nesta ferramenta e clica em Calcular no separador «n!» para veres instantaneamente o resultado exato de 158 dígitos, a notação científica e o número de dígitos.

Calcular o número de dígitos exatamente com BigInt, em vez de confiar em aproximações memorizadas, dá uma resposta precisa e indiscutível para trabalhos escolares, verificação de investigação, ou perguntas de entrevistas de programação (ex. «quantos dígitos tem n!?»).

Porque cresce tão depressa o fatorial? (explicado com a fórmula de Stirling)

O fatorial cresce ainda mais depressa do que as funções exponenciais (ex. 2^n) porque a cada passo multiplica o resultado anterior por um número cada vez maior — a isto chama-se crescimento superexponencial. A aproximação de Stirling (n! ≈ √(2πn)·(n/e)^n) explica matematicamente este crescimento: o termo (n/e)^n é o seu principal motor.

Exemplo concreto: 20! vale aproximadamente 2,43×10^18, enquanto 25! vale aproximadamente 1,55×10^25 — um salto de apenas 5 em n faz com que o resultado seja mais de 10 milhões de vezes maior. Por isso, a partir de aproximadamente 20!, as calculadoras comuns aproximam-se dos limites de um Number padrão, e o BigInt (usado nesta ferramenta) torna-se necessário.

Como se usa o fatorial em permutações e combinações?

A permutação (nPr) dá o número de ordenações/seleções ordenadas de r elementos escolhidos entre n, com a fórmula nPr = n!/(n−r)!. A combinação (nCr) é uma seleção sem ter em conta a ordem, com a fórmula nCr = n!/(r!·(n−r)!) — a combinação é a permutação dividida por r!, já que numa combinação, todas as ordens dos mesmos r elementos contam como uma só seleção.

Por exemplo, escolher uma classificação ordenada de prémios (1º, 2º, 3º) entre 3 pessoas de um grupo de 10 dá P(10,3)=720 resultados possíveis, enquanto escolher as mesmas 3 pessoas como comissão não ordenada dá apenas C(10,3)=120 seleções possíveis. Usa as mini-ferramentas acima para calcular instantaneamente com os teus próprios valores de n e r.

Perguntas frequentes

O que é um fatorial?

Um fatorial, indicado por um ponto de exclamação (!) após um número inteiro positivo n, é o produto de todos os inteiros positivos de 1 a n. Por exemplo, 5! = 5×4×3×2×1 = 120. Os fatoriais são a base dos cálculos de permutação, combinação e probabilidade.

Quanto vale 0 fatorial?

0! = 1. Isto deriva-se da regra matemática do «produto vazio»: quando não se multiplica nenhum número entre si, o resultado define-se como 1, o elemento neutro da multiplicação. Esta definição também mantém a coerência da regra recursiva n! = n × (n−1)! para n = 1 (1! = 1 × 0! = 1).

Como se calcula o fatorial de números grandes?

O tipo Number habitual do JavaScript só consegue representar inteiros com exatidão até aproximadamente 2^53; esse limite é ultrapassado por volta de 18!–19!, e a partir de 171!, um Number faz overflow para infinito. Por isso os fatoriais grandes são calculados com o tipo de dados BigInt. Esta ferramenta produz um resultado exato, com todos os dígitos, até 1000!.

Qual é a fórmula do fatorial?

A fórmula do fatorial é n! = n × (n−1) × (n−2) × ... × 2 × 1; também pode ser escrita de forma recursiva n! = n × (n−1)!, com 0! = 1 como caso base. Para valores muito grandes de n, o valor aproximado pode ser encontrado com a fórmula de Stirling: n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n.

O que é um fatorial duplo (n!!)?

O fatorial duplo n!!, partindo de n, diminui de dois em dois: se n for par, n!!=n×(n−2)×...×2; se n for ímpar, n!!=n×(n−2)×...×1. Por exemplo, 7!!=7×5×3×1=105 e 8!!=8×6×4×2=384. Por definição, 0!!=1 e 1!!=1.

Quantos dígitos tem o fatorial de 100?

100! tem exatamente 158 dígitos e é aproximadamente igual a 9,332621544×10^157. Introduz 100 na calculadora acima e clica em Calcular para veres instantaneamente o resultado exato de 158 dígitos juntamente com a notação científica.

O que é um subfatorial (derangement, !n)?

O subfatorial !n (número de derangement) é o número de permutações de um conjunto de n elementos em que nenhum elemento permanece na sua posição original. !0=1, !1=0, !2=1, !3=2, !4=9, e a regra recursiva geral é !n=(n−1)×(!(n−1)+!(n−2)).

Como se encontra o número de zeros finais de um fatorial?

O número de zeros finais de n! é igual ao número de fatores de 10 (pares de 2×5) no produto, e na prática depende de quantas vezes aparece o 5 como fator. Com a fórmula de Legendre, o número de zeros finais = ⌊n/5⌋+⌊n/25⌋+⌊n/125⌋+.... Por exemplo, 100! termina exatamente em 24 zeros.

É possível calcular um fatorial decimal (como 0,5!)?

Sim. O fatorial de um número não inteiro define-se através da função Gama, que generaliza o fatorial a todos os números reais: x! = Γ(x+1). Por exemplo, 0,5! = √π ⁄ 2 ≈ 0,8862 e (−0,5)! = √π ≈ 1,7725. Introduz um valor como 0,5, 2,5 ou 4,5 no separador «Decimal (x!)» acima para veres este resultado instantaneamente, calculado com a aproximação de Lanczos (~10 dígitos significativos). Como a função Gama tem polos nos inteiros não positivos (0, −1, −2, …), o fatorial não está definido nesses pontos.

Metodologia e fontes

A calculadora de fatorial da ToolPico é uma ferramenta gratuita e independente. O motor de cálculo funciona inteiramente no teu navegador usando a aritmética BigInt do JavaScript: cada passo da multiplicação é realizado com plena precisão inteira, sem aplicar nenhum arredondamento decimal. A notação científica, o número de dígitos e a aproximação de Stirling só são mostrados para tornar o resultado legível e verificá-lo por comparação; o número inteiro apresentado é sempre o valor exato. O número de zeros finais é calculado com a fórmula clássica de Legendre, e o subfatorial com a regra recursiva padrão.

Fontes: definições clássicas de combinatória (fatorial, fatorial duplo, derangement), aproximação de Stirling, e fórmula de Legendre para a fatorização em números primos — todos factos matemáticos universais e atemporais. Última atualização: 26 de julho de 2026. Os resultados são fornecidos apenas para fins educativos e informativos.

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Calculadora de fatorial (n!)

O que é um fatorial e como se calcula?

Qual é a fórmula do fatorial e a sua regra recursiva?

Porque se calcula o fatorial com BigInt para números grandes?

O que é o fatorial duplo (n!!) e o subfatorial (!n)?

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