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Calculadora de combinações e permutações

Introduz n e r para calcular a permutação (nPr, com ordem) e a combinação (nCr, sem ordem) com um desenvolvimento fatorial passo a passo. Inclui permutação com repetição, combinação com repetição, permutação circular, e resultados exatos com BigInt mesmo para além de 170!.

5! = 120 10P3 = 720 10C3 = 120 170!+ → BigInt exato Atualizado: 26 jul. 2026
A ordem importa? A repetição é permitida? Escolhe o teu caso
#
Número total de elementos no conjunto. Suporta números muito grandes.
#
Tem de cumprir 0 ≤ r ≤ n.
✎
Introduz os teus próprios nomes/palavras separados por vírgula (em vez de A, B, C...) para a lista de combinações e permutações abaixo. O número de elementos tem de corresponder a n.
Aa
Introduz uma palavra (as letras repetidas são contadas automaticamente, ex. BANANA) ou introduz números de grupo separados por vírgulas (ex. 3,2,1).
#
Ex. variedades de fruta, cores de bolas.
#
Pode-se escolher mais do que um do mesmo tipo.
#
Número de elementos sentados numa mesa redonda, ou dispostos em círculo/colar. Mesa redonda = (n−1)!, colar/pulseira = (n−1)!/2.
#
Mostra nPr e nCr lado a lado para r = 0 a n (até 12 linhas) — observa a relação nPr = nCr × r!.
⚙️ Definições avançadas — passo a passo, visualização de números grandes
Solução passo a passoMostrar o desenvolvimento fatorial
Truncar números grandesEncurtar resultados com mais de 40 dígitos e oferecer cópia completa
Listar disposições e seleçõesMostrar as combinações e permutações reais no modo nPr/nCr
#
Quantas linhas mostrar em «Listar disposições e seleções» antes de mostrar só o total. Máximo de segurança: 20 000 (valores mais altos podem tornar o navegador lento).
Resposta rápida Uma permutação (nPr) conta disposições em que a ordem importa: nPr = n!/(n−r)!. Uma combinação (nCr) conta seleções em que a ordem não importa: nCr = n!/(r!(n−r)!). Por exemplo, escolher uma equipa diretiva ordenada de 3 pessoas entre 10 dá 10P3 = 720 formas, enquanto uma comissão sem ordem de 3 pessoas entre as mesmas 10 pessoas dá 10C3 = 120 formas.
1205! (fatorial de 5)
72010P3 (permutação)
12010C3 (combinação)
…dígitos em 170!
⚙️ Nota sobre precisão: todos os resultados são calculados com BigInt, que não realiza qualquer arredondamento decimal — por isso mesmo os valores para além de 170! (que mostram «Infinity» na maioria das calculadoras) são calculados com exatidão, dígito a dígito. Por desempenho, o número total de elementos (n) está limitado a 5000; em permutações com repetição, o número total de letras/elementos está sujeito ao mesmo limite. Todos os cálculos são executados no teu navegador — nenhum dado é enviado a um servidor.
🔢 Calculadora de combinações e permutações — ToolPico ↗

O que são combinações e permutações, e como se calculam?

Um guia completo sobre as fórmulas nCr e nPr — a sua diferença, a sua relação com os fatoriais, e as suas versões com repetição — com exemplos concretos.

As combinações e permutações são os dois conceitos fundamentais da combinatória que contam de quantas formas diferentes podes selecionar um determinado número de elementos de um conjunto. A única diferença entre elas é se a ordem dos elementos selecionados importa. Esta calculadora calcula ambos os valores ao mesmo tempo, mostra o desenvolvimento fatorial passo a passo, e — mesmo para números astronomicamente grandes para além de 170! — devolve um resultado exato graças ao BigInt.

O que é uma permutação (nPr)?

Resposta rápidaUma permutação (nPr) é o número de formas de escolher e dispor r elementos de um conjunto de n, em que a ordem importa. Fórmula: nPr = n! / (n−r)!. Por exemplo, de quantas formas se podem classificar os 3 primeiros (ouro-prata-bronze) entre 5 corredores? É uma permutação: 5P3 = 60.

O que é uma combinação (nCr), e como se calcula?

Resposta rápidaUma combinação (nCr) é o número de formas de escolher r elementos de um conjunto de n, em que a ordem não importa. Fórmula: nCr = n! / (r! × (n−r)!). Por exemplo, quantas equipas de projeto diferentes de 3 pessoas se podem formar entre 10 pessoas (se nenhum papel contar)? A resposta é 10C3 = 120.

Qual é a diferença entre uma permutação e uma combinação?

Resposta rápidaA diferença resume-se numa palavra: a ordem. Numa permutação, a disposição/a ordem importa (papéis distintos como presidente-vice-presidente-secretário); numa combinação, só importa o grupo/a seleção (uma comissão em que nenhum papel se distingue). Para os mesmos n e r, nPr é sempre r! vezes maior do que nCr: nPr = nCr × r!. Exemplo: uma equipa diretiva ordenada de 3 pessoas (presidente/vice-presidente/secretário) escolhida entre 10 pessoas pode ser formada de 10P3 = 720 formas, enquanto uma comissão sem ordem de 3 pessoas entre as mesmas 10 pessoas pode ser formada de 10C3 = 120 formas — um fator de 720/120 = 6 = 3!.

Qual é a fórmula do fatorial (n!)?

Resposta rápidan! (fatorial de n) é o produto de todos os inteiros positivos de 1 a n: n! = n×(n−1)×...×2×1, com 0! definido como 1. As fórmulas nPr e nCr baseiam-se ambas em fatoriais. Os fatoriais crescem surpreendentemente depressa: 10! = 3 628 800, enquanto 20! já tem 19 dígitos.

O que é uma permutação com repetição?

Resposta rápidaUma permutação com repetição encontra o número de ordens distintas de uma sequência que contém elementos idênticos (repetidos). Se n elementos consistem em n₁, n₂, ..., nₖ cópias de cada elemento distinto, o número de disposições distintas é n! / (n₁!·n₂!·...·nₖ!). Exemplo: a palavra «BANANA» (6 letras: 3 A, 2 N, 1 B) tem 6!/(3!·2!·1!) = 60 disposições distintas — experimenta a tua própria palavra no separador «Perm. repetida».

O que é a combinação com repetição?

Resposta rápidaA combinação com repetição é o número de formas de escolher r elementos de n tipos, em que a ordem não importa e se permitem repetições: C(n+r−1, r). Exemplo: escolher 5 frutas no total entre 3 tipos (maçã, pera, banana), em que podes escolher mais de uma fruta do mesmo tipo, dá C(3+5−1,5) = C(7,5) = 21 seleções diferentes.

O que é uma permutação circular (mesa redonda)?

Resposta rápidaUma permutação circular é o número de formas em que n elementos podem ser dispostos à volta de um círculo (uma mesa redonda). Como rodar toda a disposição produz o mesmo arranjo, a contagem linear n! é dividida por n, dando (n−1)!. Exemplo: 6 pessoas podem sentar-se à volta de uma mesa redonda de (6−1)! = 5! = 120 formas diferentes. Para disposições que também podem ser refletidas — como um colar ou pulseira, em que as imagens espelhadas contam como idênticas — divide-se também por 2: (n−1)!/2; por exemplo, um colar de 6 contas pode ser disposto de 5!/2 = 60 formas. Experimenta o teu próprio n no separador «Circular».

Que fórmula usam as perguntas «de quantas formas diferentes»?

Resposta rápidaAs perguntas formuladas como «de quantas formas diferentes se pode selecionar/formar X» costumam ser perguntas de combinação (nCr), já que a ordem normalmente não importa; «de quantas formas diferentes se pode dispor/ordenar X» indica uma permutação (nPr). Em caso de dúvida, pergunta-te: se duas seleções contêm os mesmos elementos mas numa ordem diferente, contam como «diferentes»? Se sim, usa nPr; se não, usa nCr.

Vejamos um exemplo clássico: de quantas formas se pode formar uma equipa de 3 pessoas entre 10 pessoas? Se não há papéis distintos (todos são membros iguais), é uma combinação: 10C3 = 120. Mas se a equipa tem um capitão, um vice-capitão, e um guarda-redes designado (papéis distintos), é uma permutação: 10P3 = 720. Introduz n=10, r=3 na calculadora acima para ver ambos os resultados ao mesmo tempo, com o desenvolvimento passo a passo.

Valores nPr / nCr populares

Acesso rápido às combinações n e r mais procuradas — clica numa para preencher automaticamente a calculadora.

Mini-calculadoras relacionadas

Os três usos quotidianos mais comuns da combinatória: possibilidades de palavra-passe, probabilidades de lotaria, e triângulo de Pascal. Todos funcionam instantaneamente.

🔐Combinações de palavra-passe / PIN
Quantas sequências distintas de comprimento r se podem formar a partir de um alfabeto de n símbolos, com repetições permitidas?
🎟️Probabilidades de lotaria / rifa
Numa lotaria/rifa em que são sorteados r números entre n, quais são as probabilidades de o teu conjunto sem ordem de r números coincidir?
🔺Linha do triângulo de Pascal
Lista todos os valores C(n,k) (k=0..n) de uma determinada linha do triângulo de Pascal de uma só vez.

Tabelas de referência de combinatória

Tabelas prontas a citar: pares nPr/nCr comuns, uma tabela de fatoriais, o triângulo de Pascal, e uma comparação de fórmulas.

Valores nPr e nCr para os pares n, r mais procurados
n, rnPrnCr
4, 2126
5, 22010
5, 36010
6, 23015
6, 312020
7, 321035
8, 333656
9, 350484
10, 3720120
10, 45 040210
12, 595 040792
20, 51 860 48015 504

Valores verificados com o motor de cálculo BigInt desta ferramenta.

Tabela de fatoriais, de 0! a 15!
nn!
0!1
1!1
2!2
3!6
4!24
5!120
6!720
7!5 040
8!40 320
9!362 880
10!3 628 800
11!39 916 800
12!479 001 600
13!6 227 020 800
14!87 178 291 200
15!1 307 674 368 000

Para fatoriais maiores, aumenta n no separador «nPr / nCr» acima — o BigInt calcula resultados exatos sem limite superior prático (n ≤ 5000).

Triângulo de Pascal — linhas 0 a 10 (cada valor é um C(n,k))
Linha (n)Valores C(n,0..n)
01
11, 1
21, 2, 1
31, 3, 3, 1
41, 4, 6, 4, 1
51, 5, 10, 10, 5, 1
61, 6, 15, 20, 15, 6, 1
71, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
81, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1
91, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1
101, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1

O valor k-ésimo da linha n é igual a C(n,k). Usa a mini-ferramenta «Linha do triângulo de Pascal» acima para gerar linhas até 100.

Comparação de fórmulas nPr e nCr
ConceitoFórmulaA ordem importa?
Permutação (nPr)n! / (n−r)!Sim
Combinação (nCr)n! / (r!(n−r)!)Não
Permutação com repetiçãon! / (n₁!n₂!...nₖ!)Sim (exceto dentro de grupos)
Combinação com repetiçãoC(n+r−1, r)Não
Circular (mesa redonda)(n−1)!Sim (exceto rotação)
Colar / pulseira(n−1)!/2Sim (exceto rotação+reflexão)
Disposição com repetição (n^r)nʳSim

Relação: nPr = nCr × r!. nCr vale sempre 1 quando r=0 ou r=n.

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Glossário de termos de combinatória

Definições breves dos termos essenciais usados nos cálculos nCr/nPr.

Permutação (nPr)O número de formas de escolher e dispor r elementos de um conjunto de n, em que a ordem importa.
Combinação (nCr)O número de formas de escolher r elementos de um conjunto de n, em que a ordem não importa.
Fatorial (n!)O produto de todos os inteiros positivos de 1 a n. 0! = 1.
Permutação com repetiçãoO número de ordens distintas de uma sequência que contém elementos idênticos: n!/(n₁!n₂!...).
Combinação com repetiçãoO número de seleções sem ordem feitas com repetições permitidas: C(n+r−1, r).
Permutação circularDisposição à volta de um círculo (mesa redonda); as rotações contam como idênticas: (n−1)!. Para um colar/pulseira, as reflexões também contam como idênticas: (n−1)!/2.
BigIntUm tipo de dados do JavaScript que armazena exatamente inteiros arbitrariamente grandes, sem arredondamento.
Triângulo de PascalUma tabela triangular cuja linha n-ésima lista cada combinação C(n,0) a C(n,n).
Espaço amostralO conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência; forma o denominador nos cálculos de probabilidade.
Seleção com ordemUma seleção em que a ordem dos elementos escolhidos muda o resultado (permutação).
Seleção sem ordemUma seleção em que só importa o grupo de elementos escolhidos, não a sua ordem (combinação).

Guias detalhados

Respostas detalhadas às perguntas mais frequentes sobre combinações/permutações.

De quantas formas se pode formar uma equipa de 3 pessoas entre 10 pessoas?

Se não há distinção de papel entre os 3 membros da equipa (todos são membros iguais), é uma pergunta de combinação: 10C3 = 120. Mas se a equipa tem um capitão, um vice-capitão, e um suplente (papéis distintos), é uma pergunta de permutação: 10P3 = 720. A diferença é exatamente 3! = 6 vezes, porque o mesmo grupo de 3 pessoas pode ser distribuído em papéis de 6 formas diferentes.

Introduz n=10, r=3 na calculadora acima e mostra ambos os resultados ao mesmo tempo no separador «nPr / nCr», com o desenvolvimento passo a passo.

De quantas formas se podem dispor as letras de «BANANA»?

BANANA tem 6 letras, mas nem todas são diferentes: 3 A, 2 N, e 1 B. Se cada letra fosse distinta, haveria 6! = 720 disposições — mas como letras idênticas que trocam de lugar produzem visualmente a mesma palavra, esta sobrecontagem é corrigida dividindo pelos fatoriais dos grupos repetidos: 6! / (3!·2!·1!) = 720 / 12 = 60.

Isto chama-se «permutação com repetição», usada em jogos de palavras, análise de anagramas, entropia de palavras-passe, e mais. Experimenta introduzir qualquer palavra no separador «Perm. repetida».

Quais são as probabilidades de acertar nos 6 números de uma lotaria 6/49?

Escolher 6 números sem ordem entre 49 dá um total de 49C6 = 13 983 816 combinações possíveis. Como os teus 6 números escolhidos são apenas uma dessas combinações, as probabilidades de acertar em todos são de 1 em 13 983 816 (aproximadamente 0,0000072%).

Este é um cálculo de combinação porque a ordem em que os números são sorteados não importa — independentemente da ordem de saída, os mesmos 6 números dão o mesmo resultado. Experimenta diferentes valores n/r com a mini-ferramenta «Probabilidades de lotaria / rifa» acima.

Perguntas frequentes

O que é nCr e como se calcula?
nCr (combinação) é o número de formas de escolher r elementos de um conjunto de n, em que a ordem não importa. Fórmula: C(n,r) = n! / (r!·(n−r)!). Por exemplo, uma equipa de 3 pessoas entre 10 (em que não importa quem é «presidente» ou «membro») pode ser formada de 10C3 = 120 formas distintas.
Qual é a diferença entre permutação e combinação?
Numa permutação (nPr), a ordem dos elementos importa (uma disposição); numa combinação (nCr), a ordem não importa (uma seleção/grupo). Para os mesmos n e r, nPr é sempre r! vezes maior do que nCr: nPr = nCr × r!. Exemplo: escolher 2 pessoas entre 3 numa ordem (presidente, depois vice-presidente) dá 3P2 = 6 formas, enquanto escolher um grupo sem ordem de 2 dá 3C2 = 3 formas.
Qual é a fórmula do fatorial (n!)?
n! (fatorial de n) é o produto de todos os inteiros positivos de 1 a n: n! = n×(n−1)×(n−2)×...×2×1. Por convenção, 0! = 1. Exemplo: 5! = 5×4×3×2×1 = 120. Os fatoriais crescem extremamente depressa — os valores para além de 170! ultrapassam o intervalo do tipo Number padrão do JavaScript, por isso esta ferramenta passa a usar BigInt nesse ponto para obter resultados exatos.
O que é uma permutação com repetição?
Uma permutação com repetição conta as ordens distintas de uma sequência que contém elementos idênticos. Se n elementos consistem em n1, n2, ..., nk cópias de cada elemento distinto, o número de disposições distintas é n! dividido por n1! · n2! · ... · nk!. Exemplo: a palavra «BANANA» (6 letras: 3 A, 2 N, 1 B) tem 6!/(3!·2!·1!) = 60 disposições distintas.
De quantas formas diferentes se pode selecionar algo? (nCr na prática)
As perguntas do tipo «de quantas formas diferentes se pode selecionar/formar X» costumam ser perguntas de combinação (nCr), já que a ordem normalmente não importa. O número de formas de escolher r elementos de n é C(n,r) = n!/(r!(n−r)!). Por exemplo, o número de formas de formar uma comissão de 3 pessoas entre 10 pessoas é 10C3 = 120.
Qual é a fórmula de combinação?
A fórmula de combinação é C(n,r) = n! / (r! × (n−r)!), e dá o número de formas sem ordem de escolher r elementos de um conjunto de n. A fórmula exige 0 ≤ r ≤ n; quando r=0 ou r=n, o resultado é sempre 1.
O que é a combinação com repetição, e como se calcula?
A combinação com repetição é o número de formas sem ordem de escolher r elementos de n tipos, permitindo repetições. Fórmula: C(n+r−1, r). Exemplo: escolher 5 frutas no total entre 3 tipos (maçã, pera, banana), em que se permite mais do que uma do mesmo tipo, dá C(3+5−1,5) = C(7,5) = 21 seleções diferentes.
Porque é que os fatoriais para além de 170 mostram «Infinity» numa calculadora normal?
O JavaScript e a maioria das calculadoras usam números de vírgula flutuante (dupla precisão), cujo limite superior é de aproximadamente 1,79×10³⁰⁸. 171! ultrapassa esse limite, por isso o resultado é mostrado como «Infinity». Esta ferramenta usa o tipo de dados BigInt, que preserva precisão inteira completa, para calcular com exatidão mesmo fatoriais com milhares de dígitos.
O que é uma permutação circular (mesa redonda), e como se calcula?
Uma permutação circular é o número de formas em que n elementos podem ser dispostos à volta de um círculo (uma mesa redonda). Como rodar toda a disposição produz o mesmo arranjo, a contagem linear n! é dividida por n, dando (n−1)!. Exemplo: 6 pessoas podem sentar-se à volta de uma mesa redonda de (6−1)! = 5! = 120 formas diferentes. Para disposições que também podem ser invertidas — como um colar ou pulseira, em que as imagens espelhadas contam como idênticas — divide-se também por 2: (n−1)!/2. Exemplo: um colar de 6 contas tem 5!/2 = 60 disposições distintas.
Posso ver a lista real de combinações e permutações?
Sim. No separador «nPr / nCr», depois de introduzir n e r, o cartão de resultado mostra listas expansíveis das seleções de combinação C(n,r) reais ({A,B}, {A,C}…) e as disposições de permutação P(n,r) ((A,B), (B,A)…). Os elementos são etiquetados automaticamente como A, B, C… (ou 1, 2, 3… se n>26). Por desempenho do navegador, cada lista está limitada a 2000 linhas; os resultados maiores mostram apenas o total.

Metodologia e fontes

A calculadora de combinações e permutações da ToolPico é uma ferramenta gratuita e independente. Todos os cálculos seguem as definições clássicas de combinatória e são calculados com o tipo de dados BigInt do JavaScript: não ocorre qualquer arredondamento decimal, por isso mesmo os valores para além de 170! são calculados com exatidão, dígito a dígito.

Fórmulas: nPr = n!/(n−r)! · nCr = n!/(r!(n−r)!) · Permutação com repetição = n!/(n₁!n₂!...) · Combinação com repetição = C(n+r−1,r) · Permutação circular = (n−1)! · Colar/pulseira = (n−1)!/2. Base: combinatória padrão (matemática discreta). Última atualização: 26 de julho de 2026. Todos os cálculos são executados no teu navegador; nenhum dado é enviado a um servidor. Os resultados são fornecidos apenas para fins informativos e educativos.
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