O que é o discriminante e para que serve
Resposta rápidaO discriminante Δ=b²−4ac é o valor sob a raiz quadrada na fórmula quadrática. O seu sinal diz-te de imediato quantas raízes reais a equação tem, sem precisares de resolver mais nada: é sempre o primeiro cálculo a fazer.
Antes de tentares aplicar a fórmula quadrática, calcula o discriminante. Se souberes o valor de Δ, já sabes que tipo de resposta esperar — o que é útil, por exemplo, quando estás a rever um exercício e queres confirmar rapidamente se a raiz negativa dentro da raiz quadrada é normal (sinal de raízes complexas) ou se cometeste um erro nos coeficientes.
Δ>0 — duas raízes reais distintas. Δ=0 — uma raiz real dupla (a parábola toca o eixo x num único ponto). Δ<0 — duas raízes complexas, não existem soluções reais.
Resposta rápidaA fórmula quadrática é x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a. Identifica a, b, c; calcula Δ=b²−4ac; tira a raiz quadrada de Δ; e aplica o sinal ± para obteres as duas raízes.
Vejamos um exemplo concreto: a equação x²−5x+6=0 tem a=1, b=−5, c=6. O discriminante é Δ=(−5)²−4·1·6=25−24=1, que é positivo, logo há duas raízes reais distintas. A raiz quadrada de Δ é 1, e a fórmula dá x=(5±1)/2, ou seja x1=3 e x2=2.
Podes confirmar o resultado com as fórmulas de Vieta: a soma das raízes deve ser igual a −b/a (aqui, 3+2=5=−(−5)/1 ✓), e o produto deve ser igual a c/a (3·2=6=6/1 ✓). Este passo de verificação é rápido e evita erros de sinal, que são o erro mais comum ao aplicar a fórmula quadrática à mão.
Exemplo ilustrativo — três equações e o respetivo discriminante
| Equação | a, b, c | Δ=b²−4ac | Raízes |
|---|
| x²−5x+6=0 | 1, −5, 6 | 1 | x1=3, x2=2 |
| x²−4x+4=0 | 1, −4, 4 | 0 | x=2 (raiz dupla) |
| x²+2x+5=0 | 1, 2, 5 | −16 | x=−1±2i |
Quando as raízes são complexas
Resposta rápidaQuando Δ<0, não existe nenhuma raiz real: as duas raízes são números complexos conjugados, escritos como x=p+qi e x=p−qi, onde p=−b/2a e q=√|Δ|/2a.
Repara no terceiro exemplo da tabela acima, x²+2x+5=0: aqui Δ=4−20=−16, que é negativo. Isto significa que a parábola correspondente nunca cruza o eixo x — fica inteiramente acima dele, porque a=1>0. As raízes são x=−1+2i e x=−1−2i (usando √−16=4i). Este resultado não é um erro: é a resposta matemática correta, e aparece frequentemente em exercícios de análise de circuitos elétricos ou de vibrações, onde números complexos representam oscilações — não é preciso "arranjar" a equação para dar um número real.
Encontrar o vértice da parábola
Resposta rápidaPara y=ax²+bx+c, o vértice tem abcissa x₀=−b/2a e ordenada y₀=c−b²/4a. Se a>0, o vértice é o ponto mais baixo da parábola (mínimo); se a<0, é o ponto mais alto (máximo).
Retomando x²−4x+4=0 (a=1, b=−4, c=4): o vértice está em x₀=−(−4)/2=2 e y₀=4−16/4=0. Faz sentido, porque já sabíamos que esta equação tem uma raiz dupla em x=2 — ou seja, o vértice da parábola toca exatamente o eixo x nesse ponto, o que só acontece quando Δ=0.
Nota: os valores acima são exemplos ilustrativos com números simples, escolhidos para mostrar o método com clareza — não são uma estatística ou norma fixa; substitui sempre pelos teus próprios coeficientes a, b, c.
Perguntas frequentes
Como se resolve uma equação quadrática?
Primeiro reescreve a equação na forma ax²+bx+c=0. Calcula o discriminante Δ=b²−4ac e aplica a fórmula quadrática x=(−b±√Δ)/2a. Se Δ>0 há duas raízes reais distintas, se Δ=0 há uma raiz real dupla, e se Δ<0 há duas raízes complexas na forma a+bi. Podes verificar as raízes com as fórmulas de Vieta (x1+x2=−b/a, x1·x2=c/a).
O que é o discriminante?
O discriminante é a expressão Δ=b²−4ac que determina a estrutura das raízes de uma equação quadrática. É o termo sob a raiz quadrada na fórmula quadrática, e o seu sinal indica diretamente quantas raízes reais existem e se a raiz é simples, dupla, ou complexa — é a primeira coisa a calcular antes de resolver a equação.
O que acontece se o discriminante for negativo?
Quando Δ<0, a equação não tem raízes reais; as raízes são um par de conjugados complexos escritos como x=p+qi e x=p−qi. Graficamente, isto significa que a parábola nunca cruza o eixo x: se a>0 a parábola está completamente acima do eixo x, e se a<0 está completamente abaixo.
Qual é a fórmula quadrática?
A fórmula quadrática (fórmula resolvente) é x=(−b±√(b²−4ac))/(2a). Substituis os coeficientes a, b, c, calculas primeiro o discriminante b²−4ac, tiras a sua raiz quadrada, e o sinal ± dá duas raízes (ou apenas uma, se Δ=0). Quando a=0, a equação deixa de ser quadrática.
Como se encontra o vértice de uma parábola?
Para a parábola y=ax²+bx+c, a abcissa do vértice é x₀=−b/(2a) e a ordenada é y₀=c−b²/(4a). Se a>0 o vértice é o mínimo da parábola, e se a<0 é o máximo; o eixo de simetria é a reta vertical x=x₀.