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Resolvedor de equações quadráticas

Introduz os coeficientes de ax²+bx+c=0 para obteres instantaneamente o discriminante (Δ), as raízes reais ou complexas, a verificação das fórmulas de Vieta, o vértice, e um gráfico da parábola — com um desenvolvimento completo passo a passo da fórmula quadrática.

Δ = b²−4ac Raízes reais e complexas Verificação de Vieta Atualizado: 26 jul. 2026
Converte automaticamente uma equação em texto livre para a, b, c (ex. 2x² + 3x = 2, x² = 5x − 6). Usa ² ou ^2 para x². Também aceita a forma do vértice A(x−h)²+k (ex. 2(x−3)²+1=0) e a forma fatorizada A(x−x1)(x−x2) (ex. (x−2)(x+5)=0).
a não pode ser 0. Usa uma vírgula para os decimais, «−» para os negativos, e «3/4» para frações. Exemplos:
Introduzir raízes complexas (p ± qi)Desativado = introduzir duas raízes reais
Constrói uma equação a partir de raízes conhecidas usando as fórmulas de Vieta ao contrário. Exemplos:
⚙️ Definições avançadas — decimais, passo a passo, gráfico
Solução passo a passoΔ, raiz quadrada, e cálculo de raízes em linhas separadas
Gráfico da parábolaResumo visual através de SVG integrado
Δ = b² − 4acFórmula do discriminante
x=(−b±√Δ)/2aFórmula quadrática
x₀ = −b/2aVértice (eixo de simetria)
x1+x2=−b/aVieta: soma/produto das raízes
Resposta rápida Uma equação quadrática tem a forma ax²+bx+c=0 e resolve-se com a fórmula quadrática x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a. Calcula primeiro o discriminante Δ=b²−4ac: se Δ>0 há duas raízes reais distintas, se Δ=0 há uma raiz dupla, e se Δ<0 há duas raízes complexas na forma a+bi. A calculadora acima aplica estes passos automaticamente.
⚙️ Nota sobre a precisão e o âmbito: esta ferramenta só resolve equações quadráticas com coeficientes reais (a, b, c ∈ ℝ), na forma ax²+bx+c=0; introduzir a=0 reduz a equação a uma equação linear e é mostrada uma nota à parte. As fórmulas baseiam-se em referências padrão de álgebra e geometria analítica e são regras matemáticas atemporais que não mudam com o tempo nem requerem atualizações anuais. Os resultados são arredondados à precisão decimal que selecionares.
📐 Resolvedor de equações quadráticas — ToolPico ↗

O que é uma equação quadrática, e como se resolve?

Um guia completo — com fórmulas e exemplos — sobre o discriminante, a fórmula quadrática, as fórmulas de Vieta, o vértice, a fatorização, e completar o quadrado.

Uma equação quadrática escreve-se na forma ax²+bx+c=0 (a≠0), onde a potência mais alta de x é 2. Consoante o sinal dos coeficientes, este tipo de equação tem duas raízes reais distintas, uma única raiz real dupla, ou duas raízes complexas. Esta ferramenta funciona em ambos os sentidos: encontrar as raízes de uma equação dada, e construir uma equação a partir de raízes conhecidas (fórmulas de Vieta ao contrário).

O que é o discriminante (Δ), e como se interpreta?

Resposta rápidaO discriminante Δ=b²−4ac é o termo sob a raiz quadrada na fórmula quadrática, e determina a estrutura das raízes: Δ>0 significa duas raízes reais distintas, Δ=0 significa uma raiz real dupla, e Δ<0 significa duas raízes complexas (conjugadas). É o primeiro — e mais importante — passo a calcular antes de resolver a equação.

O que acontece se o discriminante for negativo? (raízes complexas)

Resposta rápidaQuando Δ<0, a equação não tem raízes reais; as raízes são um par de conjugados complexos escritos como x=p+qi e x=p−qi (p=−b/2a, q=√|Δ|/2a). Graficamente, isto significa que a parábola nunca cruza o eixo x — se a>0 a parábola está completamente acima, e se a<0 está completamente abaixo.

Qual é a fórmula quadrática (fórmula resolvente)?

Resposta rápidaA fórmula quadrática é x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a. Substituis os coeficientes a, b, c, calculas primeiro Δ=b²−4ac, tiras a sua raiz quadrada, e o sinal ± produz duas raízes (ou apenas uma, se Δ=0). Esta fórmula é válida para qualquer equação quadrática com coeficientes reais onde a≠0.

O que são as fórmulas de Vieta?

Resposta rápidaAs fórmulas de Vieta descrevem a relação entre as raízes e os coeficientes: a soma das raízes é x1+x2=−b/a, e o produto das raízes é x1·x2=c/a. Servem para verificar rapidamente raízes encontradas, para calcular a soma/o produto sem resolver a equação, e para construir uma equação a partir das suas raízes (o modo «Equação a partir das raízes» desta ferramenta).

Como se encontra o vértice de uma parábola?

Resposta rápidaPara a parábola y=ax²+bx+c, o vértice encontra-se com x₀=−b/2a e y₀=c−b²/4a (ou −Δ/4a). Se a>0 o vértice é um mínimo, e se a<0 é um máximo; o eixo de simetria é a reta vertical x=x₀.

Fatorização e completar o quadrado

Resposta rápidaA fatorização sobre os números reais só é possível quando Δ≥0: a(x−x1)(x−x2). Completar o quadrado funciona em todos os casos, e reescreve a expressão na forma a(x−x₀)²+y₀; esta forma mostra diretamente o vértice e é o método do qual se deriva a fórmula quadrática.

Calculadoras relacionadas: vértice, equação linear e Vieta

Os cálculos relacionados mais habituais para equações quadráticas — todos instantâneos.

📍Calculadora de vértice
Encontra rapidamente o vértice e a direção de abertura da parábola y=ax²+bx+c.
📏Resolvedor de equação linear
Resolve uma equação de primeiro grau ax+b=0 (a≠0).
🔗Verificador de Vieta
Gera a soma, o produto, e (para a=1) os coeficientes b, c a partir de duas raízes.

Tabelas de referência e exemplos

Uma tabela citável discriminante/raízes, equações de exemplo, e um resumo das fórmulas de Vieta.

Tipo de raiz segundo o sinal do discriminante (Δ)
Condição sobre ΔNúmero/tipo de raízesGráfico / eixo x
Δ > 02 raízes reais distintasCruza o eixo x em 2 pontos
Δ = 01 raiz real (dupla)Toca o eixo x apenas no vértice
Δ < 02 raízes complexas (conjugadas)Nunca cruza o eixo x
Equações de exemplo e as suas raízes
EquaçãoΔRaízes
x² − 5x + 6 = 01x1=3, x2=2
x² − 4x + 4 = 00x=2 (raiz dupla)
x² + 2x + 5 = 0−16x=−1±2i
2x² + 3x − 2 = 025x1=0,5, x2=−2
x² − 1 = 04x1=1, x2=−1

Testa cada um destes valores com um clique usando os chips «Exemplos» da calculadora acima.

Resumo das fórmulas de Vieta (ax²+bx+c=0)
GrandezaFórmula
Soma das raízesx1 + x2 = −b/a
Produto das raízesx1 · x2 = c/a
Vértice (x₀)−b/2a
Vértice (y₀)c − b²/4a = −Δ/4a

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Glossário de termos de equações quadráticas

Definições breves dos termos essenciais usados para resolver equações quadráticas.

Discriminante (Δ)A expressão b²−4ac; determina o número e o tipo de raízes.
RaizUm valor de x que satisfaz a equação, ou seja, que a torna igual a zero.
Raiz realUma raiz que pertence aos números reais; existe quando Δ≥0.
Raiz complexaUm par de raízes conjugadas na forma a+bi que aparece quando Δ<0.
ParábolaO gráfico de y=ax²+bx+c; abre para cima se a>0, para baixo se a<0.
VérticeO ponto mínimo ou máximo da parábola: (−b/2a, −Δ/4a).
Eixo de simetriaA reta vertical que passa pelo vértice, x=−b/2a, que divide a parábola em duas.
Fórmulas de VietaAs identidades x1+x2=−b/a e x1·x2=c/a que relacionam as raízes com os coeficientes.
FatorizaçãoEscrever a expressão como a(x−x1)(x−x2); possível sobre os reais quando Δ≥0.
Completar o quadradoReescrever ax²+bx+c como a(x−x₀)²+y₀.
CoeficienteAs constantes a, b, c na equação; a escala x², b escala x, e c é o termo constante.
Ordenada na origemO ponto (0, c) onde o gráfico cruza o eixo y, encontrado ao pôr x=0.

Guias detalhados

Respostas detalhadas às perguntas mais frequentes sobre equações quadráticas.

Como indica o discriminante quantas raízes há?

Para saber quantas raízes — e de que tipo — tem uma equação quadrática, basta verificar o sinal de Δ=b²−4ac. Se Δ for positivo há duas raízes reais distintas, se for zero há uma raiz real (dupla), e se for negativo há duas raízes complexas — este único passo mostra a «forma» da equação mesmo antes de acabar de a resolver.

Introduz os coeficientes no separador «Encontrar raízes» acima e clica em Resolver — a ferramenta calcula Δ automaticamente e explica a que tipo de raiz corresponde, passo a passo.

Para que servem as raízes complexas na vida real?

As raízes complexas que aparecem quando Δ<0 podem parecer abstratas, mas são amplamente usadas em engenharia elétrica para a análise de circuitos de corrente alternada, em sistemas de controlo para a análise de estabilidade, e no processamento de sinal. Matematicamente, garantem que uma equação sem raiz real tenha sempre duas raízes complexas conjugadas.

Esta ferramenta mostra diretamente as raízes na forma a+bi quando Δ<0, e o seu resumo gráfico explica porque é que a parábola nunca toca o eixo x.

Como se constrói uma equação a partir das suas raízes? (Vieta invertido)

Quando conheces duas raízes, podes construir a equação usando as fórmulas de Vieta ao contrário: calcula b = −a(x1+x2) e c = a·x1·x2, e depois escreve ax²+bx+c=0. Escolher a=1 dá a forma mais simples.

Introduz duas raízes reais (ou p e q para uma raiz complexa) no separador «Equação a partir das raízes»; a ferramenta calcula b e c, constrói a equação, e resolve-a de novo para verificar as raízes.

Perguntas frequentes

Como se resolve uma equação quadrática?
Primeiro reescreve a equação na forma ax²+bx+c=0. Calcula o discriminante Δ=b²−4ac e aplica a fórmula quadrática x=(−b±√Δ)/2a. Se Δ>0 há duas raízes reais distintas, se Δ=0 há uma raiz real dupla, e se Δ<0 há duas raízes complexas na forma a+bi. Podes verificar as raízes com as fórmulas de Vieta (x1+x2=−b/a, x1·x2=c/a).
O que é o discriminante?
O discriminante é a expressão Δ=b²−4ac que determina a estrutura das raízes de uma equação quadrática. É o termo sob a raiz quadrada na fórmula quadrática, e o seu sinal indica diretamente quantas raízes reais existem e se a raiz é simples, dupla, ou complexa — é a primeira coisa a calcular antes de resolver a equação.
O que acontece se o discriminante for negativo?
Quando Δ<0, a equação não tem raízes reais; as raízes são um par de conjugados complexos escritos como x=a+bi e x=a−bi. Graficamente, isto significa que a parábola nunca cruza o eixo x: se a>0 a parábola está completamente acima do eixo x, e se a<0 está completamente abaixo.
Qual é a fórmula quadrática?
A fórmula quadrática (fórmula resolvente) é x=(−b±√(b²−4ac))/(2a). Substituis os coeficientes a, b, c, calculas primeiro o discriminante b²−4ac, tiras a sua raiz quadrada, e o sinal ± dá duas raízes (ou apenas uma, se Δ=0). Quando a=0, a equação deixa de ser quadrática.
O que são as fórmulas de Vieta?
As fórmulas de Vieta relacionam as raízes de ax²+bx+c=0 com os seus coeficientes: a soma das raízes é x1+x2=−b/a, o produto das raízes é x1·x2=c/a. Servem para encontrar a soma/o produto das raízes sem resolver a equação, para verificar rapidamente raízes já encontradas, e para construir uma equação a partir de raízes conhecidas.
Como se encontra o vértice de uma parábola?
Para a parábola y=ax²+bx+c, a abcissa do vértice é h=−b/(2a) e a ordenada é k=c−b²/(4a) (ou k=−Δ/4a). Se a>0 o vértice é o mínimo da parábola, e se a<0 é o máximo; o eixo de simetria é a reta vertical x=h.
Quando é possível a fatorização?
Uma expressão quadrática pode ser fatorizada sobre os números reais na forma a(x−x1)(x−x2) só quando o discriminante Δ≥0, onde x1 e x2 são as raízes reais. Quando Δ=0, a expressão torna-se um quadrado perfeito, a(x−x1)². Quando Δ<0, não pode ser fatorizada sobre os reais — só sobre os números complexos.
O que é completar o quadrado?
Completar o quadrado é um método que reescreve ax²+bx+c na forma a(x−h)²+k, onde h=−b/(2a) e k=c−b²/(4a) são as coordenadas do vértice. Esta forma permite resolver a equação sem voltar a derivar a fórmula quadrática, e permite ler diretamente o vértice da parábola.
Como se mostram as raízes em forma exata (radical/fração)?
O resultado exato provém de simplificar a raiz quadrada em x=(−b±√Δ)/2a: se o discriminante Δ não for um quadrado perfeito, √Δ reduz-se à sua forma radical mais simples g√m (ex. x=(3±√17)/2); se for um quadrado perfeito, as raízes escrevem-se como frações racionais ou inteiros (ex. x1=1/2, x2=−2). Esta calculadora mostra esta forma exata (radical/fração) juntamente com o arredondamento decimal — é o resultado preciso esperado para exames e trabalhos de casa.
Posso resolver uma equação sem a converter antes para ax²+bx+c=0?
Sim. Introduz uma equação em texto livre (ex. x²=5x−6 ou 2x²+3x=2) no campo «Colar uma equação» e clica em Analisar — a ferramenta combina ambos os lados, simplifica, e reduz a equação aos coeficientes a, b, c, e depois resolve-a automaticamente. Podes introduzir ² ou ^2 para x², e são aceites coeficientes fracionários como 3/4.

Metodologia e fontes

O resolvedor de equações quadráticas da ToolPico é uma ferramenta gratuita e independente. O motor de cálculo aplica diretamente a álgebra padrão: o discriminante Δ=b²−4ac determina o tipo de raiz; as raízes reais usam a fórmula quadrática x=(−b±√Δ)/2a, as raízes complexas usam x=−b/2a ± (√|Δ|/2a)i; o vértice encontra-se completando o quadrado, e as raízes são verificadas com as fórmulas de Vieta (x1+x2=−b/a, x1·x2=c/a). Os resultados são calculados instantaneamente no cliente (no teu navegador); nenhum dado é enviado para um servidor.

Base: álgebra clássica e geometria analítica (o método do discriminante/raiz quadrada, os teoremas de Vieta, completar o quadrado). Estas regras são factos matemáticos atemporais que não requerem atualizações anuais. Última atualização: 26 de julho de 2026.
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