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Résolveur d'équation quadratique

Saisissez les coefficients de ax²+bx+c=0 pour obtenir instantanément le discriminant (Δ), les racines réelles ou complexes, la vérification des formules de Vieta, le sommet, et un graphique de la parabole — avec un déroulé complet étape par étape de la formule quadratique.

Δ = b²−4ac Racines réelles & complexes Vérification de Vieta Mis à jour : 25 juil. 2026
Convertit automatiquement une équation en texte libre en a, b, c (ex. 2x² + 3x = 2, x² = 5x − 6). Utilisez ² ou ^2 pour x².
a ne doit pas être 0. Utilisez une virgule pour les décimales, « − » pour les négatifs, et « 3/4 » pour les fractions. Exemples :
Saisir des racines complexes (p ± qi)Désactivé = saisir deux racines réelles
Construisez une équation à partir de racines connues en utilisant les formules de Vieta à l'envers. Exemples :
⚙️ Paramètres avancés — décimales, étape par étape, graphique
Solution étape par étapeΔ, racine carrée, et calcul des racines sur des lignes séparées
Graphique de la paraboleRésumé visuel via SVG intégré
Δ = b² − 4acFormule du discriminant
x=(−b±√Δ)/2aFormule quadratique
x₀ = −b/2aSommet (axe de symétrie)
x1+x2=−b/aVieta : somme/produit des racines
Réponse rapide Une équation quadratique a la forme ax²+bx+c=0 et se résout avec la formule quadratique x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a. Calculez d'abord le discriminant Δ=b²−4ac : si Δ>0 il y a deux racines réelles distinctes, si Δ=0 il y a une racine double, et si Δ<0 il y a deux racines complexes sous la forme a+bi. Le calculateur ci-dessus applique ces étapes automatiquement.
⚙️ Remarque sur la précision et le champ d'application : cet outil résout uniquement les équations quadratiques à coefficients réels (a, b, c ∈ ℝ), sous la forme ax²+bx+c=0 ; saisir a=0 réduit l'équation à une équation linéaire et une note distincte s'affiche. Les formules sont basées sur des références standards d'algèbre et de géométrie analytique et sont des règles mathématiques intemporelles qui ne changent pas dans le temps et ne nécessitent pas de mises à jour annuelles. Les résultats sont arrondis à la précision décimale que vous sélectionnez.
📐 Résolveur d'équation quadratique — ToolPico ↗

Qu'est-ce qu'une équation quadratique, et comment la résoudre ?

Un guide complet — avec formules et exemples — sur le discriminant, la formule quadratique, les formules de Vieta, le sommet, la factorisation, et la complétion du carré.

Une équation quadratique s'écrit sous la forme ax²+bx+c=0 (a≠0), où la puissance la plus élevée de x est 2. Selon le signe des coefficients, ce type d'équation aboutit à deux racines réelles distinctes, une seule racine réelle double, ou deux racines complexes. Cet outil fonctionne dans les deux sens : trouver les racines d'une équation donnée, et construire une équation à partir de racines connues (formules de Vieta à l'envers).

Qu'est-ce que le discriminant (Δ), et comment l'interpréter ?

Réponse rapideLe discriminant Δ=b²−4ac est le terme sous la racine carrée dans la formule quadratique, et il détermine la structure des racines : Δ>0 signifie deux racines réelles distinctes, Δ=0 signifie une racine réelle double, et Δ<0 signifie deux racines complexes (conjuguées). C'est la première — et la plus importante — étape calculée avant de résoudre l'équation.

Que se passe-t-il si le discriminant est négatif ? (racines complexes)

Réponse rapideQuand Δ<0, l'équation n'a pas de racines réelles ; les racines sont une paire de conjugués complexes écrits comme x=p+qi et x=p−qi (p=−b/2a, q=√|Δ|/2a). Graphiquement, cela signifie que la parabole ne croise jamais l'axe des x — si a>0 la parabole est entièrement au-dessus, et si a<0 elle est entièrement en dessous.

Quelle est la formule quadratique (formule de la racine carrée) ?

Réponse rapideLa formule quadratique est x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a. Substituez les coefficients a, b, c, calculez d'abord Δ=b²−4ac, prenez sa racine carrée, et le signe ± produit deux racines (ou une seule, si Δ=0). Cette formule est valable pour toute équation quadratique à coefficients réels où a≠0.

Que sont les formules de Vieta ?

Réponse rapideLes formules de Vieta décrivent la relation entre les racines et les coefficients : la somme des racines est x1+x2=−b/a, et le produit des racines est x1·x2=c/a. Elles servent à vérifier rapidement des racines trouvées, à calculer la somme/le produit sans résoudre l'équation, et à construire une équation à partir de ses racines (le mode « Équation à partir des racines » de cet outil).

Comment trouve-t-on le sommet d'une parabole ?

Réponse rapidePour la parabole y=ax²+bx+c, le sommet est trouvé avec x₀=−b/2a et y₀=c−b²/4a (soit −Δ/4a). Si a>0 le sommet est un minimum, et si a<0 c'est un maximum ; l'axe de symétrie est la droite verticale x=x₀.

Factorisation et complétion du carré

Réponse rapideLa factorisation sur les nombres réels n'est possible que quand Δ≥0 : a(x−x1)(x−x2). La complétion du carré fonctionne dans tous les cas, et réécrit l'expression sous la forme a(x−x₀)²+y₀ ; cette forme montre directement le sommet et est la méthode dont dérive la formule quadratique.

Choisissez une méthode : déroulé étape par étape

Les trois méthodes classiques pour résoudre ax²+bx+c=0, appliquées en direct à l'équation saisie dans le calculateur ci-dessus (onglet « Trouver les racines ») — chacune avec ses propres étapes numérotées.

Exercices corrigés : banque de problèmes

10 équations choisies pour couvrir Δ>0, Δ=0, Δ<0, et des coefficients fractionnaires. Cliquez sur « Charger » pour l'envoyer directement dans le calculateur et voir la correction détaillée, étape par étape.

Calculateurs associés : sommet, équation linéaire & Vieta

Les calculs associés les plus courants pour les équations quadratiques — tous instantanés.

📍Calculateur de sommet
Trouve rapidement le sommet et la direction d'ouverture de la parabole y=ax²+bx+c.
📏Résolveur d'équation linéaire
Résout une équation du premier degré ax+b=0 (a≠0).
🔗Vérificateur de Vieta
Génère la somme, le produit, et (pour a=1) les coefficients b, c à partir de deux racines.

Tableaux de référence & exemples

Un tableau citable discriminant/racines, des équations d'exemple, et un résumé des formules de Vieta.

Type de racine selon le signe du discriminant (Δ)
Condition sur ΔNombre/type de racinesGraphique / axe des x
Δ > 02 racines réelles distinctesCroise l'axe des x en 2 points
Δ = 01 racine réelle (double)Touche l'axe des x au sommet
Δ < 02 racines complexes (conjuguées)Ne croise jamais l'axe des x
Équations d'exemple et leurs racines
ÉquationΔRacines
x² − 5x + 6 = 01x1=3, x2=2
x² − 4x + 4 = 00x=2 (racine double)
x² + 2x + 5 = 0−16x=−1±2i
2x² + 3x − 2 = 025x1=0,5, x2=−2
x² − 1 = 04x1=1, x2=−1

Essayez chacune de ces valeurs en un clic avec les puces « Exemples » du calculateur ci-dessus.

Résumé des formules de Vieta (ax²+bx+c=0)
GrandeurFormule
Somme des racinesx1 + x2 = −b/a
Produit des racinesx1 · x2 = c/a
Sommet (x₀)−b/2a
Sommet (y₀)c − b²/4a = −Δ/4a

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Glossaire des termes d'équation quadratique

Définitions courtes des termes essentiels utilisés pour résoudre des équations quadratiques.

Discriminant (Δ)L'expression b²−4ac ; détermine le nombre et le type de racines.
RacineUne valeur de x qui satisfait l'équation, c'est-à-dire qui la rend égale à zéro.
Racine réelleUne racine appartenant aux nombres réels ; existe quand Δ≥0.
Racine complexeUne paire de racines conjuguées sous la forme a+bi qui apparaît quand Δ<0.
ParaboleLe graphique de y=ax²+bx+c ; s'ouvre vers le haut si a>0, vers le bas si a<0.
SommetLe point minimum ou maximum de la parabole : (−b/2a, −Δ/4a).
Axe de symétrieLa droite verticale passant par le sommet, x=−b/2a, qui divise la parabole en deux.
Formules de VietaLes identités x1+x2=−b/a et x1·x2=c/a reliant les racines aux coefficients.
FactorisationÉcrire l'expression comme a(x−x1)(x−x2) ; possible sur les réels quand Δ≥0.
Complétion du carréRéécrire ax²+bx+c comme a(x−x₀)²+y₀.
CoefficientLes constantes a, b, c dans l'équation ; a met à l'échelle x², b met à l'échelle x, et c est le terme constant.
Ordonnée à l'origineLe point (0, c) où le graphique croise l'axe des y, trouvé en posant x=0.

Guides détaillés

Réponses détaillées aux questions les plus fréquentes sur les équations quadratiques.

Comment le discriminant indique-t-il combien de racines il y a ?

Pour comprendre combien de racines — et de quel type — une équation quadratique possède, il suffit de vérifier le signe de Δ=b²−4ac. Si Δ est positif il y a deux racines réelles distinctes, s'il est nul il y a une racine réelle (double), et s'il est négatif il y a deux racines complexes — cette seule étape montre la « forme » de l'équation avant même de terminer sa résolution.

Saisissez les coefficients dans l'onglet « Trouver les racines » ci-dessus et cliquez sur Résoudre — l'outil calcule Δ automatiquement et explique à quel type de racine cela correspond, étape par étape.

À quoi servent les racines complexes dans la vraie vie ?

Les racines complexes qui apparaissent quand Δ<0 peuvent sembler abstraites, mais elles sont largement utilisées en génie électrique pour l'analyse des circuits en courant alternatif, dans les systèmes de contrôle pour l'analyse de stabilité, et dans le traitement du signal. Mathématiquement, elles garantissent qu'une équation sans racine réelle possède toujours deux racines complexes conjuguées.

Cet outil affiche directement les racines sous forme a+bi quand Δ<0, et son résumé graphique explique pourquoi la parabole ne touche jamais l'axe des x.

Comment construit-on une équation à partir de ses racines ? (Vieta inversé)

Quand vous connaissez deux racines, vous pouvez construire l'équation en utilisant les formules de Vieta à l'envers : calculez b = −a(x1+x2) et c = a·x1·x2, puis écrivez ax²+bx+c=0. Choisir a=1 donne la forme la plus simple.

Saisissez deux racines réelles (ou p et q pour une racine complexe) dans l'onglet « Équation à partir des racines » ; l'outil calcule b et c, construit l'équation, et la résout à nouveau pour vérifier les racines.

Questions fréquentes

Comment résout-on une équation quadratique ?
Réécrivez d'abord l'équation sous la forme ax²+bx+c=0. Calculez le discriminant Δ=b²−4ac et appliquez la formule quadratique x=(−b±√Δ)/2a. Si Δ>0 il y a deux racines réelles distinctes, si Δ=0 il y a une racine réelle double, et si Δ<0 il y a deux racines complexes sous la forme a+bi. Vous pouvez vérifier les racines avec les formules de Vieta (x1+x2=−b/a, x1·x2=c/a).
Qu'est-ce que le discriminant ?
Le discriminant est l'expression Δ=b²−4ac qui détermine la structure des racines d'une équation quadratique. C'est le terme sous la racine carrée dans la formule quadratique, et son signe indique directement combien de racines réelles existent et si la racine est simple, double, ou complexe — c'est la première chose à calculer avant de résoudre l'équation.
Que se passe-t-il si le discriminant est négatif ?
Quand Δ<0, l'équation n'a pas de racines réelles ; les racines sont une paire de conjugués complexes écrits comme x=a+bi et x=a−bi. Graphiquement, cela signifie que la parabole ne croise jamais l'axe des x : si a>0 la parabole est entièrement au-dessus de l'axe des x, et si a<0 elle est entièrement en dessous.
Quelle est la formule quadratique ?
La formule quadratique (formule de la racine carrée) est x=(−b±√(b²−4ac))/(2a). Substituez les coefficients a, b, c, calculez d'abord le discriminant b²−4ac, prenez sa racine carrée, et le signe ± donne deux racines (ou une seule, si Δ=0). Quand a=0, l'équation n'est plus quadratique.
Que sont les formules de Vieta ?
Les formules de Vieta relient les racines de ax²+bx+c=0 à ses coefficients : la somme des racines est x1+x2=−b/a, le produit des racines est x1·x2=c/a. Elles servent à trouver la somme/le produit des racines sans résoudre l'équation, à vérifier rapidement des racines déjà trouvées, et à construire une équation à partir de racines connues.
Comment trouve-t-on le sommet d'une parabole ?
Pour la parabole y=ax²+bx+c, l'abscisse du sommet est h=−b/(2a) et l'ordonnée est k=c−b²/(4a) (soit k=−Δ/4a). Si a>0 le sommet est le minimum de la parabole, et si a<0 c'est le maximum ; l'axe de symétrie est la droite verticale x=h.
Quand la factorisation est-elle possible ?
Une expression quadratique peut être factorisée sur les nombres réels sous la forme a(x−x1)(x−x2) uniquement quand le discriminant Δ≥0, où x1 et x2 sont les racines réelles. Quand Δ=0, l'expression devient un carré parfait, a(x−x1)². Quand Δ<0, elle ne peut pas être factorisée sur les réels — seulement sur les nombres complexes.
Qu'est-ce que la complétion du carré ?
La complétion du carré est une méthode qui réécrit ax²+bx+c sous la forme a(x−h)²+k, où h=−b/(2a) et k=c−b²/(4a) sont les coordonnées du sommet. Cette forme permet de résoudre l'équation sans redériver la formule quadratique, et permet de lire directement le sommet de la parabole.
Comment les racines sont-elles affichées sous forme exacte (radicale/fraction) ?
Le résultat exact provient de la simplification de la racine carrée dans x=(−b±√Δ)/2a : si le discriminant Δ n'est pas un carré parfait, √Δ est réduit à sa forme radicale la plus simple g√m (ex. x=(3±√17)/2) ; si c'est un carré parfait, les racines sont écrites sous forme de fractions rationnelles ou d'entiers (ex. x1=1/2, x2=−2). Ce calculateur affiche cette forme exacte (radicale/fraction) à côté de l'arrondi décimal — c'est le résultat précis attendu pour les examens et les devoirs.
Puis-je résoudre une équation sans d'abord la convertir en ax²+bx+c=0 ?
Oui. Saisissez une équation en texte libre (ex. x²=5x−6 ou 2x²+3x=2) dans le champ « Coller une équation » et cliquez sur Analyser — l'outil combine les deux côtés, simplifie, et réduit l'équation aux coefficients a, b, c, puis la résout automatiquement. Vous pouvez saisir ² ou ^2 pour x², et les coefficients fractionnaires comme 3/4 sont pris en charge.

Méthodologie & sources

Le résolveur d'équation quadratique de ToolPico est un outil gratuit et indépendant. Le moteur de calcul applique directement l'algèbre standard : le discriminant Δ=b²−4ac détermine le type de racine ; les racines réelles utilisent la formule quadratique x=(−b±√Δ)/2a, les racines complexes utilisent x=−b/2a ± (√|Δ|/2a)i ; le sommet est trouvé en complétant le carré, et les racines sont vérifiées avec les formules de Vieta (x1+x2=−b/a, x1·x2=c/a). Les résultats sont calculés instantanément côté client (dans votre navigateur) ; aucune donnée n'est envoyée à un serveur.

Base : algèbre classique et géométrie analytique (la méthode du discriminant/racine carrée, les théorèmes de Vieta, la complétion du carré). Ces règles sont des faits mathématiques intemporels qui ne nécessitent pas de mises à jour annuelles. Dernière mise à jour : 25 juillet 2026.
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