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Basé sur Miller-Rabin · résultats instantanés

Calculateur de factorisation en nombres premiers

Testez instantanément si un nombre est premier, décomposez-le en facteurs premiers (2×2×3), listez tous les nombres premiers d'une plage, trouvez ses diviseurs, voyez les nombres premiers suivant/précédent, et vérifiez si deux nombres sont premiers entre eux — tout en un seul outil, avec des résultats instantanés et en langage clair.

4 modes en un seul outil Jusqu'à 18 chiffres rapide Gratuit, sans inscription Mis à jour : 25 juil. 2026
Saisissez un nombre entier positif de 1 à 18 chiffres (jusqu'à 10¹⁸).
Liste tous les nombres premiers de la plage à l'aide du crible d'Ératosthène (jusqu'à 2 000 000).
Teste si deux nombres entiers positifs partagent un facteur commun (via PGCD) :
Trouve la valeur du n-ième nombre premier (n jusqu'à 200 000).
Saisissez jusqu'à 50 nombres entiers positifs (1 à 18 chiffres chacun), séparés par une virgule ou une nouvelle ligne. Chacun est testé et factorisé individuellement.
⚙️ Paramètres d'affichage — liste de diviseurs, arbre des facteurs premiers
Afficher la liste des diviseursLister tous les diviseurs positifs du nombre
Afficher l'arbre des facteurs premiersVisualiser la factorisation étape par étape
Réponse rapide Un nombre est premier s'il n'est divisible que par 1 et par lui-même. Cet outil utilise la division par essai pour les petits nombres et un test de primalité rapide basé sur Miller-Rabin pour les grands nombres afin de donner une réponse instantanée ; si le nombre n'est pas premier, il est décomposé en facteurs premiers comme 2×2×3 et ses diviseurs sont listés.
168nombres premiers entre 1 et 1 000
97plus grand nombre premier sous 100
2le seul nombre premier pair
541le 100e nombre premier
⚙️ Fonctionnement : cet outil s'exécute entièrement dans votre navigateur ; aucune donnée n'est envoyée à un serveur. Les petits nombres utilisent la division par essai, tandis que les grands nombres utilisent un test de primalité Miller-Rabin déterministe et l'algorithme rho de Pollard pour la factorisation — ainsi même les nombres à 18 chiffres se résolvent en quelques secondes. Pour la performance, l'analyse de plage est limitée à 2 000 000.
🔢 Calculateur de factorisation en nombres premiers — ToolPico ↗

Qu'est-ce qu'un nombre premier, et comment le tester et le factoriser ?

Un guide complet — avec méthodes et exemples — sur la définition d'un nombre premier, le test de primalité, la factorisation en nombres premiers, et les nombres premiers entre eux.

Un nombre premier est un nombre naturel supérieur à 1 qui n'est divisible que par 1 et lui-même. Des nombres comme 2, 3, 5, 7, 11, 13... sont premiers ; tout nombre premier sauf 2 est impair. Les nombres supérieurs à 1 qui ne sont pas premiers sont appelés composés (ex. 4, 6, 8, 9) ; le nombre 1 est, par définition, ni premier ni composé. Selon le théorème fondamental de l'arithmétique, tout entier supérieur à 1 peut s'écrire comme un produit de facteurs premiers d'une seule façon — c'est exactement ce que calcule cet outil.

Comment sait-on si un nombre est premier ?

Réponse rapideLa méthode la plus simple est la division par essai : divisez le nombre par chaque entier de 2 jusqu'à sa racine carrée ; si aucun d'eux ne divise exactement, le nombre est premier. Cette méthode est rapide pour les petits nombres mais ralentit considérablement pour les grands (disons, 15 chiffres et plus). C'est pourquoi les grands nombres utilisent à la place des tests de primalité probabilistes-déterministes rapides comme Miller-Rabin ; cet outil choisit automatiquement la méthode appropriée.
  • Division par essai : donne un résultat instantané pour les petits nombres (jusqu'à quelques millions).
  • Test de Miller-Rabin : avec le bon ensemble de valeurs témoins, donne un résultat certain pour des nombres jusqu'à 18 chiffres, et est bien plus rapide que la division par essai.
  • Algorithme rho de Pollard : trouve les facteurs de grands nombres composés avec bien moins d'opérations que la division par essai.

Comment trouve-t-on la factorisation en nombres premiers d'un nombre ?

Réponse rapideEn partant du plus petit nombre premier (2), divisez le nombre de façon répétée jusqu'à ce qu'il ne se divise plus exactement, puis passez au nombre premier suivant (3, 5, 7...) ; cela continue jusqu'à ce que le quotient restant soit 1. Le résultat est écrit comme un produit exponentiel : par exemple, 360 = 2³ × 3² × 5. Cette décomposition est unique pour chaque nombre (à l'ordre près).

Quels sont les nombres premiers de 1 à 100 ?

Réponse rapideIl y a 25 nombres premiers de 1 à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Le plus grand est 97. Vous pouvez voir cette liste — ou analyser une plage plus grande — instantanément dans l'onglet « Analyser une plage » ci-dessus.

Qu'est-ce que le crible d'Ératosthène ?

Réponse rapideDatant du IIIe siècle av. J.-C., cette méthode élimine les multiples de chaque nombre premier, en partant de 2 ; ce qui n'est pas éliminé est premier. C'est simple mais extrêmement rapide même pour de grandes plages ; cet outil utilise exactement cet algorithme pour son analyse de plage.

Que signifie « premiers entre eux » pour deux nombres ?

Réponse rapideDeux nombres sont premiers entre eux s'ils ne partagent aucun facteur commun autre que 1 — c'est-à-dire que leur plus grand commun diviseur (PGCD) est 1 — sans qu'aucun des deux nombres ait besoin d'être premier lui-même. Par exemple, 8 et 15 sont premiers entre eux (PGCD = 1) même si aucun des deux n'est premier. L'onglet « Sont-ils premiers entre eux ? » vérifie cela instantanément en calculant le PGCD.

Exemples courants de nombres premiers

Cliquez sur un exemple ci-dessous et le calculateur le remplit automatiquement et affiche le résultat.

Exemples de nombres, s'ils sont premiers, et leur factorisation en nombres premiers
NombrePremier ?Factorisation première
97Oui (premier)97
100Non2² × 5²
360Non2³ × 3² × 5
1 000Non2³ × 5³
7 919Oui (1000e premier)7 919
9 973Oui (plus grand premier sous 10 000)9 973
10 000Non2⁴ × 5⁴

Calculs populaires

Mini-outils associés : nombres premiers jumeaux, nombre parfait & nombre premier de Mersenne

Trois autres vérifications de théorie des nombres courantes — toutes calculées instantanément dans votre navigateur.

👯Vérification de nombres premiers jumeaux
Vérifie les paires de nombres premiers qui diffèrent exactement de 2 (ex. 11 et 13).
💎Vérification de nombre parfait
La somme des diviseurs d'un nombre (à l'exclusion de lui-même) est-elle égale au nombre ? (ex. 6, 28, 496)
🌀Test de nombre premier de Mersenne
Teste si un nombre de la forme 2^p − 1 est premier, à l'aide du test de Lucas-Lehmer.

Tableaux de référence & faits rapides

Tableaux intemporels citables : nombres premiers de 1 à 100, règles de divisibilité, nombres premiers jumeaux, et petits nombres premiers de Mersenne connus.

Les 25 nombres premiers de 1 à 100
PlagePremiers
1 – 252, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
26 – 5029, 31, 37, 41, 43, 47
51 – 7553, 59, 61, 67, 71, 73
76 – 10079, 83, 89, 97

25 nombres premiers au total. Source : crible d'Ératosthène (intemporel — un résultat mathématique fixe).

Règles de divisibilité utiles pour la décomposition en facteurs premiers
DiviseurRègle
2Si le dernier chiffre est pair (0,2,4,6,8), le nombre est divisible par 2.
3Si la somme des chiffres est divisible par 3, le nombre l'est aussi.
5Si le dernier chiffre est 0 ou 5, le nombre est divisible par 5.
7Il n'y a pas de raccourci simple — utilisez la division directe.
11Si la somme alternée des chiffres (additionner, soustraire, additionner...) est divisible par 11, le nombre l'est aussi.

Ces règles suggèrent rapidement quel nombre premier essayer en premier ; utilisez le calculateur ci-dessus pour un résultat exact.

Paires de nombres premiers jumeaux connues jusqu'à 1 000 (exemples)
PaireDifférence
(3, 5)2
(11, 13)2
(17, 19)2
(29, 31)2
(41, 43)2
(101, 103)2

La conjecture des nombres premiers jumeaux (qu'il en existe une infinité) reste un problème ouvert non résolu.

Petits nombres premiers de Mersenne connus (2^p − 1)
p (exposant)2^p − 1
23
37
531
7127
138 191
17131 071
19524 287

Les nombres premiers de Mersenne sont directement liés aux nombres parfaits. Testez votre propre valeur de p dans le mini-outil ci-dessus.

Ajouter ce calculateur à votre site (code d'intégration)

Intégrez gratuitement le calculateur de factorisation en nombres premiers sur votre propre site. Copiez le code ci-dessous dans votre HTML — l'outil s'affiche dans une vue simplifiée et renvoie vers cette page comme source.

L'outil intégré a une mise en page fixe ; vous pouvez ajuster la valeur de height selon votre site. Pas de publicité ni de données personnelles, fonctionne entièrement côté client.

Glossaire des termes de théorie des nombres

Définitions courtes des termes essentiels autour des nombres premiers.

Nombre premierUn nombre supérieur à 1 qui n'est divisible que par 1 et par lui-même. Ex. 2, 3, 5, 7, 11.
Nombre composéUn nombre supérieur à 1 qui n'est pas premier ; il a plus de deux diviseurs positifs. Ex. 4, 6, 8, 9.
Facteur premierUn nombre premier qui divise un autre nombre. La factorisation première écrit ces facteurs sous forme exponentielle.
Premiers entre euxDeux nombres sans diviseur commun autre que 1 (PGCD = 1).
Nombre premier jumeauUne paire de nombres premiers qui diffèrent exactement de 2. Ex. (11,13), (17,19).
Crible d'ÉratosthèneUn algorithme classique qui trouve tous les nombres premiers jusqu'à une limite en éliminant les multiples.
Nombre parfaitUn nombre égal à la somme de ses propres diviseurs positifs, à l'exclusion de lui-même. Ex. 6 = 1+2+3.
Nombre premier de MersenneUn nombre premier de la forme 2^p − 1, où p lui-même doit aussi être premier.
Test de Miller-RabinUn test de primalité probabiliste-déterministe bien plus rapide que la division par essai pour les grands nombres.
Formule du nombre de diviseursSi n = p₁^a × p₂^b × ..., le nombre de diviseurs est égal à (a+1) × (b+1) × ...
Somme des diviseurs σ(n)La somme de tous les diviseurs positifs d'un nombre. Pour 12, σ = 1+2+3+4+6+12 = 28.
Carré parfait / cube parfaitUn nombre est un carré parfait si tous ses exposants premiers sont pairs, et un cube parfait s'ils sont tous multiples de 3. Ex. 36 = 6², 27 = 3³.

Guides détaillés

Réponses détaillées aux questions les plus courantes sur les nombres premiers.

Combien y a-t-il de nombres premiers jusqu'à 100 ? La liste complète et la logique de comptage

Il y a exactement 25 nombres premiers de 1 à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Cela illustre comment la densité des nombres premiers s'amenuise progressivement parmi les grands nombres : il y a 168 nombres premiers entre 1 et 1 000, et 1 229 entre 1 et 10 000.

Saisissez n'importe quelle valeur de début et de fin dans l'onglet « Analyser une plage » ci-dessus et l'outil calcule instantanément la liste et le total à l'aide du crible d'Ératosthène ; vous pouvez copier le résultat ou le télécharger en fichier .txt.

Comment savoir rapidement si un très grand nombre est premier ?

Tester un nombre de 15-18 chiffres par division par essai peut nécessiter de vérifier des divisions jusqu'à sa racine carrée — potentiellement des milliards — ce qui est impraticablement lent. À la place, le test de Miller-Rabin fait passer le nombre par une exponentiation modulaire par rapport à un ensemble de valeurs « témoins » spécifiques ; avec le bon ensemble de témoins, il donne un résultat certain jusqu'à une plage connue (18 chiffres, dans cet outil).

Si le nombre est composé, l'algorithme rho de Pollard trouve un facteur avec bien moins d'opérations que n'en nécessiterait la division par essai sur un grand nombre composé ; les facteurs trouvés sont ensuite divisés récursivement jusqu'à leurs propres facteurs premiers.

Usages concrets des nombres premiers et de la factorisation

Les nombres premiers sont à la base de la cryptographie moderne : des méthodes comme RSA reposent sur le fait que multiplier deux grands nombres premiers est facile, mais factoriser ce produit pour retrouver ses composants premiers est — pour des nombres suffisamment grands — extrêmement difficile.

À un niveau plus quotidien, la factorisation en nombres premiers est à la base de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de nombres, de la simplification de fractions, et de la détermination du moment où des événements périodiques coïncideront à nouveau.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un nombre premier ?
Un nombre premier est un nombre naturel supérieur à 1 qui n'est divisible que par 1 et lui-même. Des nombres comme 2, 3, 5, 7, 11, 13 sont premiers. Tout nombre premier sauf 2 est impair ; 2 est le seul nombre premier pair. Les nombres supérieurs à 1 qui ne sont pas premiers sont appelés composés ; 1 n'est ni premier ni composé.
Comment sait-on si un nombre est premier ?
La méthode la plus simple consiste à vérifier si le nombre est divisible exactement par un nombre quelconque de 2 jusqu'à sa racine carrée (division par essai) ; si aucun ne divise exactement, il est premier. Cela ralentit pour de très grands nombres, donc cet outil bascule automatiquement vers un test rapide basé sur Miller-Rabin pour ceux-ci.
Comment trouve-t-on la factorisation en nombres premiers d'un nombre ?
En partant du plus petit nombre premier (2), divisez le nombre de façon répétée jusqu'à ce qu'il ne se divise plus exactement, puis passez au nombre premier suivant (3, 5, 7...) ; cela continue jusqu'à ce que le quotient restant soit 1. Le résultat est écrit comme un produit exponentiel : par exemple, 360 = 2³ × 3² × 5. Cette décomposition est unique pour chaque nombre (à l'ordre près).
Quels sont les nombres premiers de 1 à 100 ?
Il y a 25 nombres premiers de 1 à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Le plus petit est 2, et le plus grand jusqu'à 100 est 97.
Qu'est-ce que le crible d'Ératosthène ?
Un algorithme du IIIe siècle av. J.-C. pour trouver tous les nombres premiers jusqu'à une limite donnée. En partant de 2, les multiples de chaque nombre premier sont éliminés ; les nombres restants non marqués sont premiers. Simple, mais extrêmement rapide pour de grandes plages.
Comment trouve-t-on les diviseurs d'un nombre ?
Décomposez d'abord le nombre en facteurs premiers, puis multipliez chaque combinaison possible d'exposants de ces facteurs. Par exemple, 12 = 2² × 3 a pour diviseurs 1, 2, 3, 4, 6, 12 (six diviseurs). Formule du nombre de diviseurs : ajoutez 1 à l'exposant de chaque nombre premier et multipliez les résultats ; pour 12, (2+1)×(1+1)=6.
Que sont les nombres premiers jumeaux ?
Des paires de nombres premiers qui diffèrent exactement de 2 : (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), et ainsi de suite. L'existence d'une infinité de nombres premiers jumeaux (la conjecture des nombres premiers jumeaux) reste un problème ouvert non résolu en mathématiques.
Pourquoi 1 n'est-il pas considéré comme un nombre premier ?
Par définition, un nombre premier a exactement deux diviseurs positifs distincts (1 et lui-même) ; le seul diviseur de 1 est 1 lui-même. De plus, si 1 était considéré comme premier, la règle selon laquelle « chaque nombre a une factorisation première unique » s'effondrerait. C'est pourquoi 1 est traité comme ni premier ni composé.
Comment trouve-t-on la somme des diviseurs d'un nombre (σ) ?
La somme de tous les diviseurs positifs, σ(n), se trouve en décomposant le nombre en facteurs premiers et, pour chaque nombre premier, en multipliant les valeurs (pexp+1−1)/(p−1). Par exemple, pour 12 = 2² × 3, σ = 7 × 4 = 28 (soit 1+2+3+4+6+12). Cet outil affiche σ sur la carte de résultat ; les nombres dont la somme des diviseurs (à l'exclusion d'eux-mêmes) est égale à eux-mêmes sont appelés nombres parfaits.
Quel est le plus petit multiplicateur qui rend un nombre carré parfait ou cube parfait ?
Si les exposants premiers d'un nombre sont tous pairs, c'est un carré parfait ; s'ils sont tous multiples de 3, c'est un cube parfait. Pour le compléter en carré parfait, multipliez par les nombres premiers ayant un exposant impair ; pour le compléter en cube parfait, multipliez par ce qui amène chaque exposant au multiple de 3 suivant. Par exemple, 12 = 2² × 3 n'est pas un carré parfait ; multiplier par 3 donne 36 = 6², un carré parfait. L'outil affiche automatiquement ce plus petit multiplicateur pour les nombres composés.

Méthodologie & sources

Le calculateur de factorisation en nombres premiers de ToolPico est un outil de théorie des nombres gratuit, entièrement basé sur le navigateur. Les résultats ne sont pas des estimations — ils sont algorithmiques et exacts. Les petits nombres utilisent la division par essai classique ; les grands nombres utilisent un test de primalité Miller-Rabin déterministe à 12 témoins (cet ensemble de témoins est choisi de sorte qu'il ne produise aucun faux positif dans la plage testée). Les grands nombres composés sont factorisés à l'aide de l' algorithme rho de Pollard. Les analyses de plage utilisent le crible d'Ératosthène, et le test de nombre premier de Mersenne utilise l'algorithme de Lucas-Lehmer.

Sources / base : théorème fondamental de l'arithmétique · test de primalité de Miller-Rabin · algorithme de factorisation rho de Pollard · crible d'Ératosthène · test de Lucas-Lehmer. Ces concepts sont intemporels et ne changent pas dans le temps. Dernière mise à jour : 25 juillet 2026.
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