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Calculateur de factorielle (n!)

Calculez n! avec BigInt jusqu'à 1000! sans perdre un seul chiffre. Comprend le développement étape par étape, la notation scientifique, la factorielle double, la sous-factorielle (dérangement), les permutations et les combinaisons — tout instantané et gratuit.

Exact jusqu'à 1000! avec BigInt 171! → Number dépasse sa capacité 0! = 1 Mis à jour : 25 juil. 2026
Le produit de tous les entiers de 1 à n est calculé. 0! = 1.
Si n est pair : n×(n−2)×...×2. Si n est impair : n×(n−2)×...×1.
Le nombre de permutations dans lesquelles aucun élément ne reste à sa position d'origine.
Une factorielle non entière est définie par la fonction Gamma : x! = Γ(x+1). Ex. 0,5, 2,5, 4,5, -0,5.
Comparez deux factorielles : le ratio entre la plus grande et la plus petite (n!/m!) est calculé comme un nombre entier exact.
⚙️ Paramètres avancés — limite de développement, notation scientifique, séparateur de milliers
Afficher le séparateur de milliersGrouper le nombre entier comme 1 000
Réponse rapide La factorielle (n!) est le produit de tous les entiers positifs de 1 à n ; 0! est défini comme 1. Le résultat croît extrêmement vite et dépasse les limites d'un Number standard vers 18–20! ; cet outil utilise BigInt pour donner le résultat exact jusqu'à 1000!, avec chaque chiffre, plus la notation scientifique.
1Définition de 0! (produit vide)
171n ≥ cette valeur dépasse Number
158chiffres dans 100!
2568chiffres dans 1000!
⚙️ Remarque sur la précision : tous les résultats de factorielle, factorielle double, sous-factorielle (dérangement), permutation et combinaison sont calculés avec l'arithmétique BigInt de JavaScript — aucun arrondi décimal n'est appliqué et aucun chiffre n'est jamais perdu. Les valeurs de n sont limitées à la plage 0–1000 (même 1000! est calculé en quelques millisecondes à pleine précision). La notation scientifique et l'approximation de Stirling ne sont affichées que pour la lisibilité et la vérification croisée ; le résultat sous-jacent est toujours la valeur exacte.
🔢 Calculateur de factorielle — ToolPico ↗

Qu'est-ce qu'une factorielle et comment la calcule-t-on ?

Un guide complet — avec formules et exemples — sur la factorielle, sa règle récursive, BigInt pour les grands nombres, la factorielle double et la sous-factorielle.

Une factorielle, notée par un point d'exclamation (!) après un entier n, est l'opération mathématique représentant le produit de tous les entiers positifs de 1 à n : n! = n × (n−1) × (n−2) × ... × 2 × 1. La factorielle est l'un des éléments fondamentaux de la combinatoire, des permutations, des combinaisons, des calculs de probabilité, et des développements en série (ex. la série de Taylor).

Quelle est la formule de la factorielle et sa règle récursive ?

Réponse rapideLa formule de la factorielle est n! = n × (n−1) × ... × 2 × 1 ; elle peut aussi s'écrire de façon récursive n! = n × (n−1)!, avec 0! = 1 comme cas de base (la règle du produit vide). Pour de très grands n, la valeur approximative peut être trouvée avec la formule de Stirling : n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n.
  • Cas de base : 0! = 1, 1! = 1.
  • Récursion : chaque n! est le (n−1)! précédent multiplié par n.
  • Vitesse de croissance : la factorielle croît encore plus vite qu'une fonction exponentielle (a^n) — c'est ce qu'on appelle une croissance super-exponentielle.

Pourquoi calcule-t-on la factorielle avec BigInt pour les grands nombres ?

Réponse rapideLe type Number ordinaire de JavaScript ne peut représenter exactement des entiers que jusqu'à environ 2^53 (≈9 quadrillions) ; cette limite est dépassée vers 18!–19!, et à partir de 171!, un Number dépasse sa capacité vers l'infini. Cet outil effectue chaque étape de multiplication avec BigInt, produisant un résultat exact, avec chaque chiffre, jusqu'à 1000!.

En pratique, cela signifie que des questions comme « combien de chiffres ? » ou « par quels chiffres se termine-t-elle exactement ? » ne peuvent être répondues correctement qu'avec BigInt (ou une arithmétique à précision arbitraire similaire). Une calculatrice ou une application standard affiche généralement une valeur arrondie/approximative après 20! ; cet outil stocke à la place la valeur exacte et l'affiche à la demande.

Qu'est-ce que la factorielle double (n!!) et la sous-factorielle (!n) ?

Réponse rapideLa factorielle double n!! est un produit qui diminue de 2 à chaque étape (ex. 7!!=7×5×3×1=105). La sous-factorielle !n (nombre de dérangement) est le nombre de permutations d'un ensemble de n éléments dans lesquelles aucun élément ne reste à sa position d'origine (ex. !4=9). Les deux sont utilisées dans des problèmes de combinatoire spécialisés (développements en série, probabilité, problèmes de répartition).

Exemples de factorielles, du petit au grand

Les valeurs de n! les plus recherchées — résultat exact et nombre de chiffres. Pour des résultats exacts et décimaux, utilisez le calculateur ci-dessus.

Valeurs de factorielle fréquemment recherchées (résultat exact, calculé avec BigInt)
nn!Chiffres

Calculs populaires

Calculateurs associés : permutation, combinaison & zéros finaux

Les usages les plus courants de la factorielle — sélection ordonnée (permutation), sélection non ordonnée (combinaison), et le nombre de zéros finaux de n! — tous avec des résultats BigInt exacts.

🔢Permutation (nPr)
Le nombre d'arrangements ordonnés de r éléments choisis parmi n : nPr = n! / (n−r)!.
🎯Combinaison (nCr)
Le nombre de sélections non ordonnées de r éléments parmi n : nCr = n! / (r!·(n−r)!).
0️⃣Nombre de zéros finaux
Trouve par combien de zéros se termine n!, avec la formule de Legendre : ⌊n/5⌋+⌊n/25⌋+...
🧩Décomposition en facteurs premiers de n!
Donne l'exposant de chaque nombre premier ≤ n dans n!, avec la formule de Legendre : Σ ⌊n/pk⌋.

Tableaux de référence & informations pratiques

Valeurs exactes citables : petites factorielles, nombre de chiffres pour les grandes factorielles, factorielle double, sous-factorielle, et formules de permutation/combinaison.

Valeurs exactes de 0! – 20!
nn!
Grandes factorielles — notation scientifique et nombre exact de chiffres (calculé avec BigInt)
nNotation scientifiqueChiffres

Remarque : 170! est la plus grande factorielle calculable sans dépassement dans le type IEEE-754 double (Number) ; 171! renvoie Infinity avec Number.

Tableau de la factorielle double (n!!), n=0–12
nn!!
Tableau de la sous-factorielle / dérangement (!n), n=0–12
n!n
Formules de permutation / combinaison et exemple (n=10, r=3)
FormuleSignificationExemple (n=10,r=3)
P(n,r) = n! / (n−r)!Sélection ordonnée (permutation)
C(n,r) = n! / (r!·(n−r)!)Sélection non ordonnée (combinaison)
P(n,r) / r!Relation entre P et CÉgal à C(n,r)

Glossaire des termes de la factorielle

Définitions courtes des termes essentiels utilisés dans la factorielle et la combinatoire.

Factorielle (n!)Le produit de tous les entiers positifs de 1 à n. 0! est défini comme 1.
Produit videLa règle selon laquelle un produit d'aucun nombre est égal à 1 ; la base mathématique de 0! = 1.
Factorielle double (n!!)Un produit commençant à n et diminuant de 2 à chaque étape. Se termine à 2 si n est pair, 1 si impair.
Sous-factorielle / Dérangement (!n)Le nombre de permutations dans lesquelles aucun élément ne reste à sa position d'origine.
Permutation (nPr)Le nombre de façons ordonnées d'arranger r éléments choisis parmi n : n!/(n−r)!.
Combinaison (nCr)Le nombre de façons non ordonnées de choisir r éléments parmi n : n!/(r!(n−r)!).
Approximation de StirlingUne formule pour approximer n! pour un grand n : n! ≈ √(2πn)·(n/e)^n.
Notation scientifiqueUne façon d'écrire de très grands nombres sous la forme a×10^b en utilisant les premiers chiffres significatifs.
Nombre de chiffresLe nombre de chiffres dans la représentation décimale d'un nombre entier ; pour n! c'est environ log10(n!)+1.
Nombre de zéros finauxPar combien de zéros se termine n! ; égal au nombre de facteurs de 5 dans le produit (formule de Legendre).
BigIntUn type de données JavaScript pouvant représenter exactement des entiers arbitrairement grands, sans arrondi.
Croissance super-exponentielleLa propriété de la factorielle de croître encore plus vite que les fonctions exponentielles (a^n).

Guides détaillés

Réponses détaillées aux questions les plus fréquentes sur la factorielle.

Combien de chiffres a la factorielle de 100 ? Comment est-elle calculée ?

100! a exactement 158 chiffres et est approximativement égal à 9,332621544×10^157. Le nombre de chiffres peut aussi être estimé en prenant la partie entière de log10(100!) et en ajoutant 1 (l'approximation de Stirling donne ≈157,97, +1 = 158). Saisissez 100 dans cet outil et appuyez sur Calculer dans l'onglet « n! » pour voir instantanément le résultat exact à 158 chiffres, la notation scientifique, et le nombre de chiffres.

Calculer le nombre de chiffres exactement avec BigInt, plutôt que de se fier à des approximations mémorisées, donne une réponse précise et incontestable pour les devoirs, la vérification de recherche, ou les questions d'entretien de programmation (ex. « combien de chiffres a n! ? »).

Pourquoi la factorielle croît-elle si vite ? (expliqué avec la formule de Stirling)

La factorielle croît encore plus vite que les fonctions exponentielles (ex. 2^n) car à chaque étape elle multiplie le résultat précédent par un nombre toujours croissant — c'est ce qu'on appelle la croissance super-exponentielle. L'approximation de Stirling (n! ≈ √(2πn)·(n/e)^n) explique mathématiquement cette croissance : le terme (n/e)^n en est le principal moteur.

Exemple concret : 20! vaut environ 2,43×10^18, tandis que 25! vaut environ 1,55×10^25 — un saut de seulement 5 dans n rend le résultat plus de 10 millions de fois plus grand. C'est pourquoi, à partir d'environ 20!, les calculatrices ordinaires approchent les limites d'un Number standard, et BigInt (utilisé dans cet outil) devient nécessaire.

Comment la factorielle est-elle utilisée dans les permutations et combinaisons ?

La permutation (nPr) donne le nombre d'arrangements/sélections ordonnés de r éléments choisis parmi n, avec la formule nPr = n!/(n−r)!. La combinaison (nCr) est une sélection sans tenir compte de l'ordre, avec la formule nCr = n!/(r!·(n−r)!) — la combinaison est la permutation divisée par r!, car dans une combinaison, tous les ordres des mêmes r éléments comptent comme une seule sélection.

Par exemple, choisir un classement ordonné de récompense (1er, 2e, 3e) parmi 3 personnes dans un groupe de 10 donne P(10,3)=720 résultats possibles, tandis que choisir les mêmes 3 personnes comme comité non ordonné ne donne que C(10,3)=120 sélections possibles. Utilisez les mini-outils ci-dessus pour calculer instantanément avec vos propres valeurs de n et r.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une factorielle ?
Une factorielle, notée par un point d'exclamation (!) après un entier positif n, est le produit de tous les entiers positifs de 1 à n. Par exemple, 5! = 5×4×3×2×1 = 120. Les factorielles sont à la base des calculs de permutation, de combinaison et de probabilité.
Que vaut 0 factorielle ?
0! = 1. Cela découle de la règle mathématique du « produit vide » : lorsqu'aucun nombre n'est multiplié entre eux, le résultat est défini comme 1, l'élément neutre de la multiplication. Cette définition maintient aussi la cohérence de la règle récursive n! = n × (n−1)! pour n = 1 (1! = 1 × 0! = 1).
Comment calcule-t-on la factorielle de grands nombres ?
Le type Number ordinaire de JavaScript ne peut représenter exactement des entiers que jusqu'à environ 2^53 ; cette limite est dépassée vers 18!–19!, et à partir de 171!, un Number dépasse sa capacité vers l'infini. C'est pourquoi les grandes factorielles sont calculées avec le type de données BigInt. Cet outil produit un résultat exact, avec chaque chiffre, jusqu'à 1000!.
Quelle est la formule de la factorielle ?
La formule de la factorielle est n! = n × (n−1) × (n−2) × ... × 2 × 1 ; elle peut aussi s'écrire de façon récursive n! = n × (n−1)!, avec 0! = 1 comme cas de base. Pour de très grands n, la valeur approximative peut être trouvée avec la formule de Stirling : n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n.
Qu'est-ce qu'une factorielle double (n!!) ?
La factorielle double n!!, en partant de n, diminue de deux à la fois : si n est pair, n!!=n×(n−2)×...×2 ; si n est impair, n!!=n×(n−2)×...×1. Par exemple, 7!!=7×5×3×1=105 et 8!!=8×6×4×2=384. Par définition, 0!!=1 et 1!!=1.
Combien de chiffres a la factorielle de 100 ?
100! a exactement 158 chiffres et est approximativement égal à 9,332621544×10^157. Saisissez 100 dans le calculateur ci-dessus et appuyez sur Calculer pour voir instantanément le résultat exact à 158 chiffres ainsi que la notation scientifique.
Qu'est-ce qu'une sous-factorielle (dérangement, !n) ?
La sous-factorielle !n (nombre de dérangement) est le nombre de permutations d'un ensemble de n éléments dans lesquelles aucun élément ne reste à sa position d'origine. !0=1, !1=0, !2=1, !3=2, !4=9, et la règle récursive générale est !n=(n−1)×(!(n−1)+!(n−2)).
Comment trouve-t-on le nombre de zéros finaux d'une factorielle ?
Le nombre de zéros finaux de n! est égal au nombre de facteurs de 10 (paires de 2×5) dans le produit, et dépend en pratique du nombre de fois où 5 apparaît comme facteur. Avec la formule de Legendre, le nombre de zéros finaux = ⌊n/5⌋+⌊n/25⌋+⌊n/125⌋+.... Par exemple, 100! se termine par exactement 24 zéros.
Peut-on calculer une factorielle décimale (comme 0,5!) ?
Oui. La factorielle d'un nombre non entier est définie à l'aide de la fonction Gamma, qui généralise la factorielle à tous les nombres réels : x! = Γ(x+1). Par exemple, 0,5! = √π ⁄ 2 ≈ 0,8862 et (−0,5)! = √π ≈ 1,7725. Saisissez une valeur comme 0,5, 2,5, ou 4,5 dans l'onglet « Décimal (x!) » ci-dessus pour voir ce résultat instantanément, calculé avec l'approximation de Lanczos (~10 chiffres significatifs). Comme la fonction Gamma a des pôles aux entiers non positifs (0, −1, −2, …), la factorielle y est indéfinie.

Méthodologie & sources

Le calculateur de factorielle de ToolPico est un outil gratuit et indépendant. Le moteur de calcul s'exécute entièrement dans votre navigateur en utilisant l'arithmétique BigInt de JavaScript : chaque étape de multiplication est effectuée à pleine précision entière, sans arrondi décimal appliqué. La notation scientifique, le nombre de chiffres et l'approximation de Stirling ne sont affichés que pour rendre le résultat lisible et le vérifier par recoupement ; le nombre entier affiché est toujours la valeur exacte. Le nombre de zéros finaux est calculé avec la formule classique de Legendre, et la sous-factorielle avec la règle récursive standard.

Sources : définitions classiques de combinatoire (factorielle, factorielle double, dérangement), approximation de Stirling, et formule de Legendre pour la décomposition en facteurs premiers — tous des faits mathématiques universels et intemporels. Dernière mise à jour : 25 juillet 2026. Les résultats sont fournis à titre éducatif et informatif uniquement.

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