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Calculateur d'exposant & racine

Élevez un nombre à une puissance (exposant entier, négatif, ou fractionnaire), trouvez une racine carrée, une racine cubique, ou une racine n-ième, et simplifiez des expressions radicales (√72 = 6√2) — tout en un seul outil, avec des résultats étape par étape, exacts + décimaux, et en notation scientifique.

4 modes en un seul outil Résultats exacts + décimaux Gratuit, sans inscription Mis à jour : 25 juil. 2026
Peut être décimale ou négative (ex. 1,5 ou -3).
Saisissez un entier, un nombre négatif, ou une fraction comme 2/3.
2 = racine carrée, 3 = racine cubique, 4 = racine 4e…
Le radicande. Peut être négatif pour une racine d'indice impair.
Décompose l'entier sous la racine en facteurs premiers et le réduit à sa forme radicale la plus simple (ex. √72 = 6√2).
Autorisés : + − × ÷ ^ ( ), √, ∛, sqrt(), cbrt(), root(a,n), pi, e. Exemple : 2^(1/2), root(64,3). Utilisez un point pour les décimales (2.5).
⚙️ Avancé — décimales, notation scientifique, étape par étape
Notation scientifiqueAfficher aussi le résultat sous forme a × 10ⁿ
Solution étape par étapeAfficher les étapes du calcul
Réponse rapide Un exposant est une multiplication répétée : aⁿ = a × a × … × a. Un radical est son inverse : ⁿ√a est le nombre dont la puissance n-ième est égale à a. Cet outil calcule des puissances, racines carrées, racines cubiques, et racines n-ièmes, simplifie des expressions radicales (√72 = 6√2), et affiche des résultats exacts, décimaux, et en notation scientifique étape par étape.
√2 (racine carrée de 2)
√3 (racine carrée de 3)
∛2 (racine cubique de 2)
π (pi)
⚙️ Remarque sur la précision : les calculs d'exposants et de racines entiers sont effectués exactement ; la simplification décompose l'entier sous la racine en facteurs premiers et en extrait les puissances complètes. Les résultats irrationnels (ex. √2) ont des décimales infinies et sont affichés arrondis au nombre de décimales choisi. Les racines d'indice pair n'ont pas de valeur réelle pour un radicande négatif. Tous les calculs s'exécutent dans votre navigateur ; aucune donnée n'est envoyée à un serveur.
√ Calculateur d'exposant & racine — ToolPico ↗

Exposants et radicaux : un guide court mais complet

Comment fonctionnent l'exponentiation, les racines carrées/cubiques/n-ièmes, les exposants négatifs et fractionnaires, et la simplification de radicaux, avec des exemples.

Un exposant est une façon compacte d'écrire la multiplication répétée d'une base : aⁿ = a × a × … × a (n facteurs). Un radical est l'opération inverse : ⁿ√a est le nombre dont la puissance n-ième est égale à a. Les deux sont liés par l'identité a^(1/n) = ⁿ√a. Le calculateur ci-dessus fait les deux, simplifie aussi des expressions radicales, et évalue des expressions mixtes.

Comment élève-t-on un nombre à une puissance ?

Réponse rapideL'exponentiation multiplie la base par elle-même autant de fois que l'exposant : aⁿ = a × a × … × a. Exemple : 2⁵ = 2×2×2×2×2 = 32. Cas particuliers : a⁰ = 1 (a≠0), a¹ = a, 1ⁿ = 1. En multipliant des bases identiques, les exposants s'additionnent ; en divisant, ils se soustraient : aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.

Qu'est-ce qu'un exposant négatif ?

Réponse rapideUn exposant négatif donne l'inverse multiplicatif de la base : a⁻ⁿ = 1 / aⁿ. Exemple : 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125. Autrement dit, un exposant négatif envoie le nombre au dénominateur et le rétrécit. 0⁻ⁿ est indéfini.

Qu'est-ce qu'un exposant fractionnaire (rationnel) ?

Réponse rapideUn exposant fractionnaire exprime une racine : a^(1/n) = ⁿ√a et a^(p/n) = ⁿ√(aᵖ). Exemple : 8^(2/3) = ∛(8²) = ∛64 = 4. Dans l'onglet « Exposant », saisir une fraction comme 2/3 comme exposant convertit le résultat en forme radicale.

Comment calcule-t-on une racine carrée ?

Réponse rapideUne racine carrée (√a) est le nombre positif dont le carré est égal à a : √a = b ⇔ b² = a. Exemple : √144 = 12. Si le nombre n'est pas un carré parfait, le résultat est irrationnel ; la forme radicale la plus simple est donnée avec une approximation décimale (√2 ≈ 1,41421).

Comment trouve-t-on une racine cubique ou une racine n-ième ?

Réponse rapideUne racine cubique (∛a) est le nombre dont le cube est égal à a : ∛27 = 3, ∛(−8) = −2. En général, ⁿ√a est le nombre dont la puissance n-ième est égale à a, équivalent à a^(1/n). Exemple : ⁴√16 = 2, ⁵√32 = 2. Une racine d'indice pair ne peut pas avoir un radicande négatif (dans les nombres réels) ; une racine d'indice impair le peut.

Comment simplifie-t-on un radical (√72 = 6√2) ?

Réponse rapideLe nombre sous la racine est décomposé en facteurs premiers, et toute puissance complète correspondant à l'indice de la racine est sortie. √72 = √(2³×3²) = √(36×2) = 6√2. Pour les racines cubiques, des groupes de trois sortent : ∛54 = ∛(27×2) = 3∛2. L'onglet « Simplifier » affiche chaque étape.

Calculs d'exposant & racine populaires

Exemples en un clic qui sautent directement au calculateur. Chaque lien ouvre l'onglet correspondant et remplit les valeurs.

Mini-calculateurs associés

Conversion exposant fractionnaire ↔ racine, vérification de carré/cube parfait, et notation scientifique — tous instantanés, dans votre navigateur.

🔁Exposant fractionnaire ↔ racine
Convertit a^(p/q) en forme radicale : a^(p/q) = ᵠ√(aᵖ). Simplifie le résultat si possible.
🔍Vérificateur de carré/cube parfait
Vérifie si un nombre est un carré parfait, un cube parfait, ou une puissance n-ième parfaite, et affiche les puissances parfaites les plus proches.
🔬Notation scientifique
Affiche un nombre très grand ou très petit sous forme a × 10ⁿ en plus de la notation standard.

Tableaux de référence

Carrés parfaits, cubes parfaits, puissances de 2 et 10, et les identités d'exposant & radical essentielles — toutes à retenir.

Carrés parfaits : n et n² (1–50)
nn² (carré parfait)

Si la racine carrée d'un nombre correspond à une valeur de ce tableau, le résultat est un entier ; sinon il est irrationnel.

Cubes parfaits : n et n³ (1–25)
nn³ (cube parfait)

Les racines cubiques des cubes parfaits sont des entiers : ∛27 = 3, ∛64 = 4. Aussi définies pour les négatifs : ∛(−8) = −2.

Puissances de 2 et 10
Exposant (n)2ⁿ10ⁿ

Les puissances de 2 sont courantes en informatique (octets, Ko, Mo) ; les puissances de 10 sont utilisées constamment en notation scientifique.

Préfixes métriques & scientifiques (puissances de 10)
PréfixeSymbolePuissance de 10Valeur

Les préfixes du Système international (SI) associent un nom à une puissance de 10, utilisés pour les unités de mesure (ex. 1 kilomètre = 10³ m, 1 microseconde = 10⁻⁶ s).

Règles des exposants
RègleExemple
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ2³·2² = 2⁵ = 32
aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ2⁵/2² = 2³ = 8
(aᵐ)ⁿ = aᵐˑⁿ(2³)² = 2⁶ = 64
(a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ(2·3)² = 4·9 = 36
a⁻ⁿ = 1 / aⁿ2⁻³ = 1/8 = 0,125
a⁰ = 1 (a≠0)7⁰ = 1
a^(1/n) = ⁿ√a8^(1/3) = ∛8 = 2
Règles des racines (radicaux)
RègleExemple
√(a·b) = √a · √b√72 = √36·√2 = 6√2
√(a/b) = √a / √b√(9/4) = 3/2
ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n)∛(8²) = 8^(2/3) = 4
a·ⁿ√b + c·ⁿ√b = (a+c)ⁿ√b2√3 + 5√3 = 7√3
(ⁿ√a)ⁿ = a(√5)² = 5
ⁿ√a · ⁿ√b = ⁿ√(a·b)√2·√8 = √16 = 4

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Glossaire des termes d'exposant & racine

Définitions courtes des termes essentiels utilisés avec les exposants et les radicaux.

BaseLe nombre multiplié par lui-même dans une expression exponentielle. Dans aⁿ, a est la base.
Exposant (puissance)Le nombre de fois que la base est multipliée par elle-même. Dans aⁿ, n est l'exposant.
RadicandeLe nombre sous le symbole de racine. Dans ⁿ√a, a est le radicande.
Indice de la racineL'ordre de la racine. Dans ⁿ√a, n ; 2 signifie racine carrée, 3 signifie racine cubique.
Carré parfaitUn nombre qui est le carré d'un entier (1, 4, 9, 16, 25…). Sa racine carrée est un entier.
Cube parfaitUn nombre qui est le cube d'un entier (1, 8, 27, 64…). Sa racine cubique est un entier.
Exposant fractionnaireUn exposant composé d'un numérateur et d'un dénominateur. a^(p/q) se convertit en racine : ᵠ√(aᵖ).
Exposant négatifReprésente l'inverse multiplicatif : a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Envoie la base au dénominateur.
Nombre irrationnelUn nombre qui ne peut pas s'écrire comme une fraction ; son développement décimal est infini et non périodique (ex. √2, π).
Notation scientifiqueÉcrire un nombre comme a × 10ⁿ, où 1 ≤ |a| < 10. Exemple : 4200 = 4,2 × 10³.
Décomposition en facteurs premiersÉcrire un nombre comme un produit de nombres premiers (72 = 2³·3²). La base de la simplification de radicaux.
SimplificationRéduire une expression radicale à sa forme la plus simple en sortant les puissances complètes de la racine (√72 = 6√2).

Guides détaillés

Réponses détaillées aux questions les plus souvent confondues.

Pourquoi √72 est-il égal à 6√2 ? Simplification étape par étape

Étape 1 : Décomposez le nombre sous la racine en facteurs premiers : 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3². Étape 2 : Pour une racine carrée, regroupez les facteurs par paires ; chaque paire complète sort de la racine comme un facteur unique. 2² est un carré parfait → 2 sort ; 3² est un carré parfait → 3 sort ; un 2 restant reste à l'intérieur de la racine.

Étape 3 : √72 = √(2² × 3² × 2) = 2 × 3 × √2 = 6√2. Valeur décimale ≈ 8,485. Saisissez 72 dans l'onglet « Simplifier » et cliquez sur Calculer pour voir les mêmes étapes.

Comment calcule-t-on 8^(2/3) ? Le lien entre exposants fractionnaires et racines

Dans un exposant fractionnaire, le numérateur (nombre du haut) est la puissance et le dénominateur (nombre du bas) est l'indice de la racine : a^(p/q) = ᵠ√(aᵖ) = (ᵠ√a)ᵖ. Pour notre exemple, 8^(2/3) peut se calculer de deux façons : puissance d'abord → ∛(8²) = ∛64 = 4 ; ou racine d'abord → (∛8)² = 2² = 4. Les deux donnent 4.

Astuce pratique : prendre la racine d'abord garde généralement des nombres plus petits et plus faciles à manipuler. Essayez-le dans l'onglet « Exposant » en saisissant 2/3 comme exposant avec la base 8 — l'outil affiche à la fois la forme radicale et la valeur décimale.

Peut-on prendre la racine d'un nombre négatif ? Indice pair vs impair

Pour une racine d'indice pair (racine carrée, racine 4e…), le radicande ne peut pas être négatif, car aucun nombre réel élevé à une puissance paire n'est négatif. √(−4) est indéfini dans les nombres réels (il vaut 2i dans les nombres complexes). Pour une racine d'indice impair (racine cubique, racine 5e…), un radicande négatif est possible : ∛(−8) = −2, car (−2)³ = −8.

Cet outil vous avertit si vous saisissez un radicande négatif avec un indice pair, et signe correctement le résultat pour un indice impair.

Exemples concrets résolus

Trois situations réelles où les exposants et les racines interviennent, avec le calcul détaillé et le mode du calculateur à utiliser.

💰 Intérêts composés : combien vaut 2 000 € après 10 ans à 5 % ?

La formule des intérêts composés est un exposant appliqué directement : Valeur finale = Capital × (1 + taux)^durée. Avec un capital de 2 000 €, un taux annuel de 5 % (0,05) et une durée de 10 ans : Valeur finale = 2000 × (1,05)^10.

Étape 1 : (1,05)^10 ≈ 1,628895. Étape 2 : 2000 × 1,628895 ≈ 3 257,79 €. Les intérêts gagnés sont donc d'environ 1 257,79 €, contre seulement 1 000 € avec des intérêts simples (2000 × 0,05 × 10) — la différence vient uniquement de l'exposant qui compose les gains chaque année.

Pour reproduire ce calcul : ouvrez l'onglet « Exposant », saisissez 1.05 comme base et 10 comme exposant, puis multipliez mentalement (ou avec l'onglet « Expression ») le résultat par 2000. Avec l'onglet « Expression », vous pouvez aussi saisir directement 2000 * 1.05^10 pour obtenir le résultat en une fois.

💾 Stockage de données : combien d'octets contient 1 Gio ?

En informatique, les unités de stockage binaires (Kio, Mio, Gio, Tio) sont des puissances de 2, pas des puissances de 10. Un kibioctet (Kio) vaut 2¹⁰ octets, un mébioctet (Mio) vaut 2²⁰ octets, un gibioctet (Gio) vaut 2³⁰ octets.

Calcul : 1 Gio = 2³⁰ = 2¹⁰ × 2¹⁰ × 2¹⁰ = 1 024 × 1 024 × 1 024 = 1 073 741 824 octets. C'est pourquoi un disque « annoncé » 1 To (10¹² octets, base décimale utilisée par les fabricants) affiche souvent un peu moins de 932 Gio dans un système d'exploitation qui compte en base 2 — la différence entre 10¹² et 2⁴⁰ n'est pas une erreur, ce sont deux définitions différentes du « giga ».

Pour vérifier : ouvrez l'onglet « Exposant », saisissez 2 comme base et 30 comme exposant. Le tableau « Puissances de 2 & 10 » ci-dessous liste aussi les puissances de 2 usuelles jusqu'à 2²⁰.

🏊 Aire d'une piscine ronde : quel diamètre pour 50 m² d'eau ?

L'aire d'un cercle est A = π × r², donc pour trouver le rayon à partir d'une aire donnée, on inverse la formule avec une racine carrée : r = √(A / π). Pour une piscine ronde dont on veut une surface d'eau de 50 m² : r = √(50 / π) = √(15,915…).

Calcul : √15,915 ≈ 3,989 m de rayon, soit un diamètre d'environ 7,98 m (≈ 8 m). Vérification : π × 3,989² = π × 15,91 ≈ 50 m² ✓. Cette même méthode s'applique à toute surface circulaire (bassin, terrasse ronde, canalisation).

Pour calculer : divisez d'abord 50 par π (≈ 15,9155), puis ouvrez l'onglet « Racine », laissez l'indice à 2, et saisissez 15.9155 comme radicande. Avec l'onglet « Expression », vous pouvez aussi saisir directement √(50 / pi) pour obtenir le rayon en une seule étape.

Questions fréquentes

Comment élève-t-on un nombre à une puissance (exponentiation) ?
L'exponentiation consiste à multiplier la base par elle-même autant de fois que l'exposant : aⁿ = a × a × … × a (n facteurs). Par exemple, 2⁵ = 2×2×2×2×2 = 32. Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 est égal à 1 (a⁰ = 1, a≠0), et tout nombre élevé à la puissance 1 est égal à lui-même. Saisissez la base et l'exposant dans l'onglet « Exposant » pour obtenir le résultat exact en entier, décimal, et notation scientifique, étape par étape.
Comment calcule-t-on une racine carrée ?
La racine carrée d'un nombre (√a) est le nombre positif dont le carré lui est égal : √a = b signifie b² = a. Par exemple, √144 = 12 car 12² = 144. Les nombres qui ne sont pas des carrés parfaits ont des racines carrées irrationnelles, données sous forme d'approximation décimale (√2 ≈ 1,41421). Dans l'onglet « Racine », laissez l'indice à 2 et saisissez le nombre — l'outil renvoie à la fois la forme radicale simplifiée et la valeur décimale.
Comment simplifie-t-on un radical ?
Le nombre sous le radical est décomposé en facteurs premiers, et toute puissance complète correspondant à l'indice de la racine est sortie du radical. Par exemple, √72 = √(2³×3²) = √(36×2) = 6√2. Pour les racines cubiques, des groupes de trois facteurs identiques sortent : ∛54 = ∛(27×2) = 3∛2. L'onglet « Simplifier » affiche ces étapes ainsi que la décomposition en facteurs premiers.
Qu'est-ce qu'un exposant négatif ?
Un exposant négatif donne l'inverse multiplicatif de la base élevée à l'exposant positif : a⁻ⁿ = 1 / aⁿ. Par exemple, 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125. Plus la base est grande, plus le résultat est petit. Un exposant négatif de zéro (0⁻ⁿ) est indéfini. Dans l'onglet « Exposant », saisissez une valeur négative (ex. -3) dans le champ exposant pour le calculer.
Comment trouve-t-on une racine cubique ?
La racine cubique d'un nombre (∛a) est le nombre dont le cube lui est égal : ∛a = b signifie b³ = a. Par exemple, ∛27 = 3 (3³=27), ∛64 = 4. Les racines cubiques sont aussi définies pour les nombres négatifs : ∛(−8) = −2. Si le nombre n'est pas un cube parfait, le résultat est irrationnel. Dans l'onglet « Racine », réglez l'indice sur 3.
Comment calcule-t-on une racine n-ième ?
La racine n-ième d'un nombre (ⁿ√a) est le nombre dont la puissance n-ième lui est égale, écrite sous forme d'exposant comme a^(1/n). Par exemple, ⁴√16 = 2 (2⁴=16), ⁵√32 = 2. Les racines d'indice pair ne peuvent pas avoir un radicande négatif ; les racines d'indice impair le peuvent. Dans l'onglet « Racine », saisissez l'indice n choisi dans le champ indice.
Les exposants fractionnaires et les racines sont-ils la même chose ?
Oui. Un exposant fractionnaire exprime une racine : a^(1/n) = ⁿ√a et a^(p/n) = ⁿ√(aᵖ) = (ⁿ√a)ᵖ. Par exemple, 8^(2/3) = ∛(8²) = 4. Dans l'onglet « Exposant », saisissez l'exposant comme une fraction (ex. 2/3) et l'outil convertit le résultat en forme radicale.
Quelle est la précision des résultats, et comment sont-ils calculés ?
Les calculs d'exposants et de racines entiers sont effectués exactement ; les résultats irrationnels sont arrondis au nombre de décimales choisi (2–12). Tout le calcul se fait dans votre navigateur selon les règles d'algèbre standards ; aucune donnée n'est envoyée à un serveur. La méthode est intemporelle et ne dépend pas de données qui changent d'année en année. Dernière révision : 25 juillet 2026.

Méthodologie & sources

Le calculateur d'exposant & racine de ToolPico est un outil gratuit et indépendant. L'exponentiation entière est calculée avec une arithmétique entière exacte (BigInt) ; l'extraction et la simplification de racine fonctionnent en décomposant en facteurs premiers le radicande et en sortant les puissances complètes correspondant à l'indice de la racine. La conversion exposant fractionnaire–racine est basée sur l'identité a^(p/q) = ᵠ√(aᵖ). Les valeurs irrationnelles sont calculées avec la virgule flottante IEEE-754 et arrondies au nombre de décimales sélectionné.

Base : algèbre standard du collège/lycée (identités d'exposant et de radical). Les concepts sont intemporels et ne dépendent pas de taux ou de dates. Dernière mise à jour : 25 juillet 2026. Les résultats sont fournis à titre informatif et éducatif uniquement.
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