Réponse rapideUne probabilité classique en combinatoire se calcule comme un rapport :
(nombre de cas favorables) / (nombre de cas possibles). Ces deux nombres sont presque toujours des permutations (nPr) ou des combinaisons (nCr), elles-mêmes construites à partir de factorielles. La première étape consiste donc à identifier si l'ordre compte (permutation) ou non (combinaison) pour le numérateur et pour le dénominateur séparément — ce ne sont pas toujours les mêmes.
C'est cette étape d'identification, plus que le calcul lui-même, qui est la source d'erreur la plus fréquente. Une fois la bonne formule choisie pour chaque partie du rapport, le calculateur de factorielle donne les deux valeurs entières exactes ; il ne reste plus qu'à diviser l'une par l'autre (avec un outil de division ou une calculatrice classique, puisque le résultat final n'est plus nécessairement un entier).
Comment calcule-t-on le paradoxe des anniversaires avec des combinaisons ?
Réponse rapideLe paradoxe des anniversaires dit que dans un groupe de seulement 23 personnes, la probabilité qu'au moins deux partagent la même date de naissance dépasse déjà 50%. La clé est de raisonner sur le nombre de paires de personnes, une combinaison (23C2 = 253), plutôt que sur le nombre de personnes lui-même.
Voici un exemple pédagogique de raisonnement (les valeurs sont exactes, la mise en situation est illustrative). Avec 23 personnes, le nombre de paires distinctes possibles est 23C2 = 23!/(2!·21!) = 253. Chaque paire a une chance sur 365 environ de partager un anniversaire (en ignorant les années bissextiles pour simplifier). Avec 253 paires indépendantes, même si chaque probabilité individuelle est faible, l'accumulation sur autant de paires fait grimper la probabilité globale bien plus vite que l'intuition ne le suggère.
Pour reproduire ce calcul avec le calculateur : ouvrez le mode « n! » ou directement le mini-outil Combinaison (nCr), saisissez n=23 et r=2, et vérifiez que le résultat correspond à 253. C'est cette valeur qui sert ensuite de point de départ à la formule complète de probabilité (1 moins la probabilité qu'aucune paire ne coïncide), qui elle-même utilise une factorielle décroissante — un calcul que peu de gens font à la main, mais que la structure combinatoire explique clairement une fois la bonne quantité identifiée.
À retenir — Le nombre de paires croît beaucoup plus vite que le nombre de personnes : doubler un groupe de 23 à 46 personnes ne double pas le nombre de paires, il le multiplie par un facteur bien supérieur à 2 (46C2 = 1035, soit plus de 4 fois plus).
Comment calcule-t-on les chances de gagner à une loterie type 5/49 ?
Réponse rapideLe nombre total de grilles possibles pour un tirage de 5 numéros parmi 49, sans ordre, est une combinaison : 49C5 = 49!/(5!·44!) = 1 906 884. Une seule grille jouée a donc une chance sur 1 906 884 de correspondre exactement au tirage.
Ce calcul illustre bien pourquoi la combinaison (et non la permutation) est la bonne formule ici : l'ordre dans lequel les 5 boules sortent de la machine n'a pas d'importance pour le joueur, seul l'ensemble des 5 numéros compte. Si l'ordre comptait (par exemple dans un jeu où il faudrait deviner le 1er, 2e, 3e numéro tirés dans l'ordre exact), il faudrait utiliser une permutation à la place, ce qui donnerait un nombre de possibilités bien plus élevé et donc une probabilité de gain bien plus faible.
Exemple illustratif : nombre de grilles possibles selon le format (valeurs calculées avec nCr)
| Format | Formule | Grilles possibles |
|---|
| 5 parmi 49 | 49C5 | 1 906 884 |
| 6 parmi 49 | 49C6 | 13 983 816 |
| 5 parmi 90 | 90C5 | 43 949 268 |
Formats de loterie donnés à titre d'exemple générique pour illustrer la formule ; ils ne correspondent à aucune loterie réelle en particulier et ne constituent pas un conseil de jeu.
Pour reproduire ce calcul : utilisez le mini-outil Combinaison (nCr) du calculateur avec n=49 et r=5 (ou tout autre format), ce qui donne directement le dénominateur de la probabilité de gain sans avoir à calculer 49! en entier à la main — un nombre qui contient déjà plus de 60 chiffres.
Permutation ou combinaison pour un tirage de cartes ?
Réponse rapidePour compter les mains de poker distinctes (5 cartes non ordonnées parmi 52), on utilise une combinaison : 52C5 = 2 598 960. Pour compter les façons de distribuer 5 cartes dans un ordre précis (une donne successive à 5 joueurs), on utilise une permutation, un nombre bien plus grand : 52P5 = 52!/47! = 311 875 200.
La différence entre les deux résultats (311 875 200 / 2 598 960 = 120 = 5!) illustre à nouveau la même règle générale que pour les paires d'anniversaires : chaque main non ordonnée de 5 cartes peut être distribuée dans 5! = 120 ordres différents, ce qui explique exactement le facteur multiplicatif entre permutation et combinaison.
Scénario pratique : un joueur qui apprend les probabilités au poker veut savoir combien de mains différentes de 5 cartes existent au total, pour ensuite estimer la rareté relative d'une combinaison spécifique (par exemple une couleur ou un brelan) en comparant deux valeurs de nCr entre elles. Le calculateur permet de vérifier chacun de ces deux nombres séparément (numérateur et dénominateur) avant de faire le rapport final.
Questions fréquentes
Pourquoi le paradoxe des anniversaires surprend-il autant de gens ?
Parce que l'intuition compare le nombre de personnes (23) au nombre de jours de l'année (365), alors que la vraie question porte sur le nombre de paires de personnes possibles, qui croît beaucoup plus vite : avec 23 personnes il y a déjà 23C2 = 253 paires distinctes, chacune ayant une petite chance de partager un anniversaire. C'est cette accumulation de paires, calculée via une combinaison, qui explique le résultat contre-intuitif d'environ 50%.
Comment calcule-t-on les chances de gagner à une loterie de type 5 numéros parmi 49 ?
Le nombre total de grilles possibles est une combinaison, puisque l'ordre de tirage des numéros n'a pas d'importance : 49C5 = 49!/(5!·44!) = 1 906 884. La probabilité de cocher exactement les 5 bons numéros avec une seule grille est donc de 1 sur 1 906 884, à condition que chaque numéro soit distinct et que le tirage soit uniforme.
Faut-il utiliser une permutation ou une combinaison pour un tirage de cartes ?
Cela dépend si l'ordre des cartes tirées compte. Pour compter le nombre de mains de poker différentes (5 cartes non ordonnées parmi 52), on utilise une combinaison : 52C5 = 2 598 960. Si en revanche on distingue l'ordre de distribution des 5 cartes (par exemple pour une donne à 5 joueurs successifs), on utilise une permutation : 52P5, un nombre bien plus grand.
Le calculateur peut-il directement donner un pourcentage de probabilité ?
Le calculateur donne les valeurs exactes de n!, de nPr et de nCr en arithmétique entière ; c'est à partir de ces résultats que l'on forme ensuite le rapport (cas favorables / cas possibles) pour obtenir une probabilité. Il ne calcule pas directement le pourcentage final, mais fournit chacun des deux nombres du rapport avec une précision exacte, ce qui évite les erreurs d'arrondi sur de grandes valeurs.
Pourquoi calculer d'abord n! avant de passer à nCr dans un exercice de probabilité ?
Parce que nCr et nPr sont définies à partir de factorielles (nCr = n!/(r!·(n−r)!)), il est utile de vérifier séparément la valeur de n! (et son nombre de chiffres) avant de passer à la combinaison finale, surtout quand n dépasse 15-20 et que les valeurs intermédiaires deviennent trop grandes pour un calcul mental fiable. Cela permet aussi de vérifier qu'aucune étape de simplification de fraction n'a été mal faite.
Méthodologie — Les valeurs de combinaison et de permutation citées (23C2, 49C5, 52C5, 52P5) sont des résultats mathématiques exacts, vérifiables avec les mini-outils du calculateur. Les scénarios de loterie, de paradoxe des anniversaires et de tirage de cartes sont des exemples génériques et pédagogiques ; les formats de loterie mentionnés sont illustratifs et ne représentent aucun jeu réel en particulier. Ce contenu est fourni à titre informatif, sans garantie d'exhaustivité pour un usage académique, professionnel ou de jeu réel.