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Factorielle de 100, 1000 ou d'un nombre décimal : comment ça marche vraiment ?

Dès qu'on dépasse 20!, une calculatrice classique se met à afficher des résultats arrondis ou une erreur. Ce guide explique pourquoi, comment obtenir un résultat exact jusqu'à 1000!, et ce que signifient la factorielle double, la sous-factorielle et la factorielle décimale.

Dans ce guide

Quelle est la formule de la factorielle, et pourquoi 0! = 1 ?

Réponse rapideLa factorielle n! est le produit de tous les entiers positifs de 1 à n (n! = n × (n−1) × ... × 2 × 1). Elle se définit aussi de façon récursive : n! = n × (n−1)!, avec 0! = 1 comme cas de base, une convention appelée le « produit vide ».

Cette opération sert de brique de base à presque toute la combinatoire : nombre de façons d'ordonner des objets, calculs de permutation et de combinaison, développements en série mathématique. Le point important à retenir est que la factorielle croît de façon super-exponentielle — bien plus vite qu'une simple puissance comme 2^n — ce qui la rend rapidement difficile à manipuler avec des outils numériques ordinaires.

Définition — Produit vide : quand il n'y a aucun terme à multiplier (cas de n=0), le résultat conventionnel est 1, l'élément neutre de la multiplication. C'est pour cela que 0! = 1 et non 0.

Par exemple, 5! = 5×4×3×2×1 = 120, et 10! = 3 628 800. On voit déjà qu'entre 5! et 10!, le résultat est multiplié par plus de 30 000 — c'est cette accélération qui pose problème pour les grands n.

Pourquoi une calculatrice classique n'arrive-t-elle plus à donner le bon résultat après 20! ?

Réponse rapideLe type numérique standard utilisé par la plupart des calculatrices et navigateurs (le type Number de JavaScript, par exemple) ne peut représenter des entiers exacts que jusqu'à environ 2^53, une limite dépassée dès 18!–19!. À partir de 171!, ce type dépasse même sa capacité de représentation et affiche l'infini. La solution est d'utiliser une arithmétique à précision arbitraire, comme le type BigInt, qui multiplie chaque étape sans jamais arrondir.

Concrètement, cela veut dire que si vous demandez « combien de chiffres a 100! ? » ou « par quels chiffres se termine exactement 50! ? », un outil qui utilise un flottant classique donnera une réponse approximative, potentiellement fausse sur les derniers chiffres. Un outil basé sur BigInt calcule au contraire la valeur entière complète, chiffre par chiffre.

Exemples de croissance de la factorielle (valeurs exactes)
nn!Nombre de chiffres
51203
103 628 8007
202 432 902 008 176 640 00019
100≈9,3326×10^157158
1000≈4,0239×10^25672568

Exemple illustratif : les valeurs de n=5 à n=20 sont exactes ; les notations pour 100! et 1000! sont des approximations scientifiques à titre indicatif, le résultat exact complet (tous les chiffres) est disponible via l'outil.

À retenir — 100! possède exactement 158 chiffres et se termine par 24 zéros (règle de Legendre : ⌊100/5⌋+⌊100/25⌋ = 20+4 = 24).

Qu'est-ce qu'une factorielle double (n!!) et une sous-factorielle (!n) ?

Réponse rapideLa factorielle double n!! multiplie en sautant un nombre sur deux (ex. 7!!=7×5×3×1=105 ; 8!!=8×6×4×2=384). La sous-factorielle !n (nombre de dérangement) compte les permutations d'un ensemble de n éléments où aucun élément ne reste à sa position initiale (ex. !4=9).

Un exemple concret pour la sous-factorielle : imaginez 4 lettres et 4 enveloppes correspondantes. !4=9 signifie qu'il existe 9 façons de répartir ces 4 lettres dans les 4 enveloppes de sorte qu'aucune lettre ne se retrouve dans sa bonne enveloppe. C'est un problème classique de combinatoire, parfois appelé le « problème des chapeaux ».

La factorielle double intervient plutôt dans des contextes plus spécialisés (séries mathématiques, certains calculs de probabilité géométrique) — elle est moins fréquente au quotidien que la factorielle simple, mais utile à connaître pour éviter de la confondre avec (n!)!, qui est une toute autre opération (la factorielle du résultat n!, un nombre gigantesque même pour n petit).

Peut-on calculer la factorielle d'un nombre décimal, comme 0,5! ou 4,5! ?

Réponse rapideOui, grâce à la fonction Gamma, qui étend la définition de la factorielle à tous les nombres réels (et complexes) : x! = Γ(x+1). Par exemple, 0,5! = √π ⁄ 2 ≈ 0,8862. Ce résultat est calculé par approximation numérique (méthode de Lanczos), pas par un produit exact d'entiers.

Ce type de calcul intéresse surtout les étudiants en mathématiques ou en physique qui rencontrent la fonction Gamma dans des formules de probabilité (loi Gamma, loi du Khi-deux) ou d'analyse. À noter : la fonction Gamma n'est pas définie aux entiers négatifs ou nuls (0, −1, −2, ...), donc la « factorielle » d'un nombre entier négatif n'existe pas.

Scénario pratique : un étudiant doit vérifier la valeur de Γ(5,5) dans un exercice de statistiques. Comme Γ(5,5) = 4,5! par la relation x! = Γ(x+1), il suffit de saisir 4,5 dans le mode « Décimal (x!) » du calculateur pour obtenir la valeur numérique approchée et la comparer à son calcul manuel.

Calculez n! exactement jusqu'à 1000!, la factorielle double, la sous-factorielle, une factorielle décimale, ou des permutations/combinaisons — gratuitement et instantanément.

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Questions fréquentes

Que vaut 0 factorielle ?
0! = 1. Cela découle de la règle du « produit vide » : quand aucun nombre n'est multiplié, le résultat est défini comme 1, l'élément neutre de la multiplication. Cette convention maintient aussi la cohérence de la règle récursive n! = n × (n−1)! pour n = 1.
Pourquoi une calculatrice classique n'arrive-t-elle plus à calculer 25! correctement ?
Le type Number ordinaire de JavaScript (et de nombreuses calculatrices) ne peut représenter exactement des entiers que jusqu'à environ 2^53 ; cette limite est dépassée dès 18!–19!, et à partir de 171! un Number standard dépasse sa capacité vers l'infini. Pour obtenir un résultat exact au-delà, il faut une arithmétique à précision arbitraire comme le type BigInt.
Combien de chiffres a la factorielle de 100 ?
100! a exactement 158 chiffres, soit environ 9,332621544×10^157. C'est un exemple classique utilisé pour illustrer la croissance super-exponentielle de la factorielle.
Qu'est-ce qu'une factorielle double (n!!) ?
La factorielle double n!! diminue de 2 à chaque étape au lieu de 1 : si n est pair, n!! = n×(n−2)×...×2 ; si n est impair, n!! = n×(n−2)×...×1. Par exemple, 7!! = 7×5×3×1 = 105.
Peut-on calculer la factorielle d'un nombre non entier, comme 0,5! ?
Oui, en utilisant la fonction Gamma, qui généralise la factorielle à tous les nombres réels : x! = Γ(x+1). Par exemple, 0,5! = √π ⁄ 2 ≈ 0,8862. Ce calcul utilise une approximation numérique (Lanczos) et non un produit exact d'entiers.

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Méthodologie — Les exemples numériques de ce guide (valeurs de n! jusqu'à n=20, nombre de chiffres et de zéros finaux de 100!) sont des résultats mathématiques exacts, vérifiables avec l'outil ci-dessus. Les valeurs pour 100! et 1000! au-delà des premiers chiffres sont présentées en notation scientifique à titre d'illustration. Ce contenu est fourni à titre informatif et pédagogique, sans garantie d'exhaustivité pour un usage académique ou professionnel spécifique.