Au-delà du calcul brut de n!, la factorielle sert surtout de brique pour des questions d'examen très concrètes : combien d'arrangements possibles, combien de sélections, combien de zéros à la fin d'un résultat. Ce guide passe en revue les erreurs les plus fréquentes que commettent les étudiants et candidats aux concours sur ces trois points.
Permutation ou combinaison : comment ne plus se tromper
Réponse rapideLa question à se poser est toujours : l'ordre compte-t-il ? Si oui, c'est une permutation (nPr = n!/(n−r)!). Si non, c'est une combinaison (nCr = n!/(r!·(n−r)!)). Un même énoncé mal lu peut faire confondre les deux et donner un résultat multiplié ou divisé par r! par rapport à la bonne réponse.
Prenons un exemple scolaire classique (à titre d'illustration, pas une statistique réelle) : une classe de 12 élèves doit désigner un podium de 3 (1er, 2e, 3e) pour un concours interne. Comme le rang compte, c'est une permutation : 12P3 = 12!/9! = 12×11×10 = 1320 arrangements possibles. Si, en revanche, la même classe doit simplement désigner un groupe de 3 délégués sans hiérarchie entre eux, c'est une combinaison : 12C3 = 12!/(3!·9!) = 220 sélections possibles.
Le rapport entre les deux résultats (1320/220 = 6 = 3!) illustre une règle générale utile à retenir : nPr = nCr × r!. Autrement dit, chaque combinaison de r éléments peut être réordonnée de r! façons différentes pour devenir une permutation.
L'erreur de formule la plus fréquente en calcul de nPr / nCr
Réponse rapideL'erreur classique est de diviser par la mauvaise factorielle : oublier le r! au dénominateur d'une combinaison (ce qui donne en réalité le résultat d'une permutation), ou inverser n et r dans (n−r)!. Une seconde source d'erreur, moins évidente, concerne la précision numérique au-delà d'environ 18!, où un calcul en virgule flottante peut arrondir silencieusement.
Un scénario fréquent (exemple hypothétique) : un étudiant calcule 20C10 « à la main » avec une calculatrice scientifique standard. Comme 20! dépasse la limite de précision exacte d'un flottant classique dès 18!–19!, certaines calculatrices peuvent afficher un résultat légèrement erroné sur les derniers chiffres si elles ne gèrent pas nativement les grands entiers. Un outil qui calcule en arithmétique entière exacte (comme le type BigInt) élimine ce risque, car chaque multiplication intermédiaire reste un entier exact, quelle que soit la taille de n.
- Astuce de vérification : pour de petites valeurs de r, il n'est pas nécessaire de calculer n! en entier. nPr peut se calculer directement comme le produit de r termes décroissants à partir de n (ex. 12P3 = 12×11×10), ce qui limite les erreurs de simplification de fraction.
- Piège fréquent : confondre « n! / (n−r)! » avec « n! − (n−r)! » — une simple confusion d'opérateur qui donne un résultat totalement absurde (souvent négatif ou beaucoup trop petit).
Compter les zéros finaux d'une factorielle sans tout calculer
Réponse rapideLe nombre de zéros finaux de n! s'obtient avec la formule de Legendre : ⌊n/5⌋+⌊n/25⌋+⌊n/125⌋+..., sans avoir besoin de calculer n! en entier. L'erreur la plus fréquente est de s'arrêter à ⌊n/5⌋ et d'oublier les puissances supérieures de 5 (25, 125...), ce qui fausse le résultat dès que n atteint 25 ou plus.
Nombre de zéros finaux de n! pour quelques valeurs (formule de Legendre, base 5)
| n | ⌊n/5⌋+⌊n/25⌋+... | Zéros finaux |
|---|
| 10 | 2+0 | 2 |
| 20 | 4+0 | 4 |
| 25 | 5+1 | 6 |
| 100 | 20+4+0 | 24 |
Valeurs illustratives destinées à montrer la mécanique du calcul ; le résultat exact pour n'importe quel n de 0 à 1000 peut être vérifié directement avec le mini-outil « Nombre de zéros finaux » du calculateur.
À retenir — Entre 20! et 25!, le nombre de zéros finaux passe de 4 à 6, et non 5, à cause du facteur 25 = 5² qui « compte double » dans la formule de Legendre.
Cette même logique de décomposition s'applique à la décomposition en facteurs premiers de n! : pour connaître l'exposant d'un nombre premier p quelconque (pas seulement 5) dans n!, on applique la même formule Σ⌊n/p^k⌋. C'est utile par exemple pour déterminer si n! est divisible par une puissance donnée d'un nombre composé, en comparant les exposants de ses facteurs premiers.
Cas pratique : préparer un exercice de concours sur les arrangements
Voici un scénario hypothétique de révision, à titre d'exemple pédagogique. Un candidat s'entraîne sur une série d'exercices mêlant permutations, combinaisons et divisibilité par des puissances de 10. Sa méthode de travail : résoudre chaque exercice à la main, formule par formule, puis vérifier son résultat avec un calculateur avant de passer à l'exercice suivant — plutôt que de vérifier seulement à la fin, ce qui permettrait à une même erreur de méthode de se répéter sur toute la série sans être détectée.
Pour ce type d'entraînement, les mini-outils dédiés (permutation nPr, combinaison nCr, zéros finaux, décomposition en facteurs premiers) sont plus rapides à utiliser qu'un calcul manuel complet de n!, car ils affichent directement le résultat de la formule demandée sans étape intermédiaire à retaper. Le résultat reste exact, calculé en arithmétique entière, même pour des valeurs de n dans les centaines.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une permutation et une combinaison ?
Une permutation (nPr = n!/(n−r)!) compte les arrangements où l'ordre compte : par exemple, tirer un podium (1er, 2e, 3e) parmi n athlètes. Une combinaison (nCr = n!/(r!·(n−r)!)) compte les sélections où l'ordre ne compte pas : par exemple, choisir 3 athlètes pour un même groupe sans distinction de rang. Pour un même n et r, il y a toujours plus de permutations que de combinaisons, dans un rapport exact de r!.
Pourquoi mon résultat de nPr ou nCr est-il différent de celui d'une calculatrice scientifique ?
L'erreur la plus fréquente est d'inverser n et r, ou de confondre les deux formules (diviser par (n−r)! au lieu de r!·(n−r)!, ou l'inverse). Une autre cause fréquente est l'arrondi : au-delà d'environ 18!, une calculatrice qui utilise des nombres à virgule flottante perd de la précision, alors qu'un calcul en arithmétique entière exacte (BigInt) ne perd aucun chiffre, même pour de grandes valeurs de n.
Combien y a-t-il de zéros à la fin de 20! ?
20! se termine par exactement 4 zéros. Avec la formule de Legendre, le nombre de zéros finaux de n! est ⌊n/5⌋+⌊n/25⌋+⌊n/125⌋+... ; pour n=20, cela donne ⌊20/5⌋+⌊20/25⌋ = 4+0 = 4. L'erreur classique est de compter uniquement ⌊n/5⌋ et d'oublier les puissances supérieures de 5, ce qui ne change rien pour n=20 mais devient significatif à partir de n=25 (où 25=5² compte deux fois).
À quoi sert la décomposition en facteurs premiers de n! dans un exercice ?
Elle sert notamment à simplifier des fractions contenant des factorielles sans calculer le nombre entier complet, ou à répondre à des questions de type « n! est-il divisible par 12^k ? » en comparant les exposants des facteurs premiers de 12 (2² et 3) à ceux présents dans n!. La formule de Legendre donne l'exposant d'un nombre premier p dans n! : Σ ⌊n/p^k⌋ pour k=1,2,3...
Le calculateur peut-il servir à préparer un examen ou un concours ?
Oui : il permet de vérifier rapidement un calcul de permutation, de combinaison, de zéros finaux ou de décomposition en facteurs premiers fait à la main, pour repérer une erreur de formule avant de la répéter sur toute une série d'exercices. Il ne remplace pas la compréhension de la méthode, qui reste nécessaire lors d'un examen sans calculatrice.