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Resolvedor de ecuaciones cuadráticas

Introduce los coeficientes de ax²+bx+c=0 para obtener al instante el discriminante (Δ), las raíces reales o complejas, la verificación de las fórmulas de Vieta, el vértice, y una gráfica de la parábola — con un desarrollo completo paso a paso de la fórmula cuadrática.

Δ = b²−4ac Raíces reales y complejas Verificación de Vieta Actualizado: 26 jul. 2026
Convierte automáticamente una ecuación en texto libre a a, b, c (ej. 2x² + 3x = 2, x² = 5x − 6). Usa ² o ^2 para x².
a no puede ser 0. Usa una coma para los decimales, «−» para los negativos, y «3/4» para fracciones. Ejemplos:
Introducir raíces complejas (p ± qi)Desactivado = introducir dos raíces reales
Construye una ecuación a partir de raíces conocidas usando las fórmulas de Vieta a la inversa. Ejemplos:
Introduce 3 puntos (x, y) por los que pasa la parábola y=ax²+bx+c; la herramienta resuelve el sistema de 3 ecuaciones para hallar a, b, c.
Los tres valores de x deben ser distintos entre sí. Ejemplos:
⚙️ Ajustes avanzados — decimales, paso a paso, gráfica
Solución paso a pasoΔ, raíz cuadrada, y cálculo de raíces en líneas separadas
Gráfica de la parábolaResumen visual mediante SVG integrado
Δ = b² − 4acFórmula del discriminante
x=(−b±√Δ)/2aFórmula cuadrática
x₀ = −b/2aVértice (eje de simetría)
x1+x2=−b/aVieta: suma/producto de las raíces
Respuesta rápida Una ecuación cuadrática tiene la forma ax²+bx+c=0 y se resuelve con la fórmula cuadrática x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a. Calcula primero el discriminante Δ=b²−4ac: si Δ>0 hay dos raíces reales distintas, si Δ=0 hay una raíz doble, y si Δ<0 hay dos raíces complejas en la forma a+bi. La calculadora de arriba aplica estos pasos automáticamente.
⚙️ Nota sobre la precisión y el alcance: esta herramienta solo resuelve ecuaciones cuadráticas con coeficientes reales (a, b, c ∈ ℝ), en la forma ax²+bx+c=0; introducir a=0 reduce la ecuación a una ecuación lineal y se muestra una nota aparte. Las fórmulas se basan en referencias estándar de álgebra y geometría analítica y son reglas matemáticas atemporales que no cambian con el tiempo ni requieren actualizaciones anuales. Los resultados se redondean a la precisión decimal que selecciones.
📐 Resolvedor de ecuaciones cuadráticas — ToolPico ↗

¿Qué es una ecuación cuadrática, y cómo se resuelve?

Una guía completa — con fórmulas y ejemplos — sobre el discriminante, la fórmula cuadrática, las fórmulas de Vieta, el vértice, la factorización, y completar el cuadrado.

Una ecuación cuadrática se escribe en la forma ax²+bx+c=0 (a≠0), donde la potencia más alta de x es 2. Según el signo de los coeficientes, este tipo de ecuación tiene dos raíces reales distintas, una única raíz real doble, o dos raíces complejas. Esta herramienta funciona en ambos sentidos: encontrar las raíces de una ecuación dada, y construir una ecuación a partir de raíces conocidas (fórmulas de Vieta a la inversa).

¿Qué es el discriminante (Δ), y cómo se interpreta?

Respuesta rápidaEl discriminante Δ=b²−4ac es el término bajo la raíz cuadrada en la fórmula cuadrática, y determina la estructura de las raíces: Δ>0 significa dos raíces reales distintas, Δ=0 significa una raíz real doble, y Δ<0 significa dos raíces complejas (conjugadas). Es el primer — y más importante — paso que se calcula antes de resolver la ecuación.

¿Qué ocurre si el discriminante es negativo? (raíces complejas)

Respuesta rápidaCuando Δ<0, la ecuación no tiene raíces reales; las raíces son un par de conjugados complejos escritos como x=p+qi y x=p−qi (p=−b/2a, q=√|Δ|/2a). Gráficamente, esto significa que la parábola nunca cruza el eje x — si a>0 la parábola está completamente por encima, y si a<0 está completamente por debajo.

¿Cuál es la fórmula cuadrática (fórmula general)?

Respuesta rápidaLa fórmula cuadrática es x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a. Sustituyes los coeficientes a, b, c, calculas primero Δ=b²−4ac, tomas su raíz cuadrada, y el signo ± produce dos raíces (o solo una, si Δ=0). Esta fórmula es válida para cualquier ecuación cuadrática con coeficientes reales donde a≠0.

¿Qué son las fórmulas de Vieta?

Respuesta rápidaLas fórmulas de Vieta describen la relación entre las raíces y los coeficientes: la suma de las raíces es x1+x2=−b/a, y el producto de las raíces es x1·x2=c/a. Sirven para verificar rápidamente raíces encontradas, para calcular la suma/el producto sin resolver la ecuación, y para construir una ecuación a partir de sus raíces (el modo «Ecuación a partir de las raíces» de esta herramienta).

¿Cómo se encuentra el vértice de una parábola?

Respuesta rápidaPara la parábola y=ax²+bx+c, el vértice se encuentra con x₀=−b/2a y y₀=c−b²/4a (o −Δ/4a). Si a>0 el vértice es un mínimo, y si a<0 es un máximo; el eje de simetría es la recta vertical x=x₀.

Factorización y completar el cuadrado

Respuesta rápidaLa factorización sobre los números reales solo es posible cuando Δ≥0: a(x−x1)(x−x2). Completar el cuadrado funciona en todos los casos, y reescribe la expresión en la forma a(x−x₀)²+y₀; esta forma muestra directamente el vértice y es el método del que se deriva la fórmula cuadrática.

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Encuentra rápidamente el vértice y la dirección de apertura de la parábola y=ax²+bx+c.
📏Resolvedor de ecuación lineal
Resuelve una ecuación de primer grado ax+b=0 (a≠0).
🔗Verificador de Vieta
Genera la suma, el producto, y (para a=1) los coeficientes b, c a partir de dos raíces.

Tablas de referencia y ejemplos

Una tabla citable discriminante/raíces, ecuaciones de ejemplo, y un resumen de las fórmulas de Vieta.

Tipo de raíz según el signo del discriminante (Δ)
Condición sobre ΔNúmero/tipo de raícesGráfica / eje x
Δ > 02 raíces reales distintasCruza el eje x en 2 puntos
Δ = 01 raíz real (doble)Toca el eje x en el vértice
Δ < 02 raíces complejas (conjugadas)Nunca cruza el eje x
Ecuaciones de ejemplo y sus raíces
EcuaciónΔRaíces
x² − 5x + 6 = 01x1=3, x2=2
x² − 4x + 4 = 00x=2 (raíz doble)
x² + 2x + 5 = 0−16x=−1±2i
2x² + 3x − 2 = 025x1=0,5, x2=−2
x² − 1 = 04x1=1, x2=−1

Prueba cada uno de estos valores con un clic usando los chips «Ejemplos» de la calculadora de arriba.

Resumen de las fórmulas de Vieta (ax²+bx+c=0)
MagnitudFórmula
Suma de las raícesx1 + x2 = −b/a
Producto de las raícesx1 · x2 = c/a
Vértice (x₀)−b/2a
Vértice (y₀)c − b²/4a = −Δ/4a

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Glosario de términos de ecuaciones cuadráticas

Definiciones breves de los términos esenciales usados para resolver ecuaciones cuadráticas.

Discriminante (Δ)La expresión b²−4ac; determina el número y el tipo de raíces.
RaízUn valor de x que satisface la ecuación, es decir, que la hace igual a cero.
Raíz realUna raíz que pertenece a los números reales; existe cuando Δ≥0.
Raíz complejaUn par de raíces conjugadas en la forma a+bi que aparece cuando Δ<0.
ParábolaLa gráfica de y=ax²+bx+c; se abre hacia arriba si a>0, hacia abajo si a<0.
VérticeEl punto mínimo o máximo de la parábola: (−b/2a, −Δ/4a).
Eje de simetríaLa recta vertical que pasa por el vértice, x=−b/2a, que divide la parábola en dos.
Fórmulas de VietaLas identidades x1+x2=−b/a y x1·x2=c/a que relacionan las raíces con los coeficientes.
FactorizaciónEscribir la expresión como a(x−x1)(x−x2); posible sobre los reales cuando Δ≥0.
Completar el cuadradoReescribir ax²+bx+c como a(x−x₀)²+y₀.
CoeficienteLas constantes a, b, c en la ecuación; a escala x², b escala x, y c es el término constante.
Ordenada en el origenEl punto (0, c) donde la gráfica cruza el eje y, hallado al poner x=0.

Guías detalladas

Respuestas detalladas a las preguntas más frecuentes sobre ecuaciones cuadráticas.

¿Cómo indica el discriminante cuántas raíces hay?

Para saber cuántas raíces — y de qué tipo — tiene una ecuación cuadrática, basta con comprobar el signo de Δ=b²−4ac. Si Δ es positivo hay dos raíces reales distintas, si es cero hay una raíz real (doble), y si es negativo hay dos raíces complejas — este único paso muestra la «forma» de la ecuación incluso antes de terminar de resolverla.

Introduce los coeficientes en la pestaña «Encontrar raíces» de arriba y haz clic en Resolver — la herramienta calcula Δ automáticamente y explica a qué tipo de raíz corresponde, paso a paso.

¿Para qué sirven las raíces complejas en la vida real?

Las raíces complejas que aparecen cuando Δ<0 pueden parecer abstractas, pero se usan ampliamente en ingeniería eléctrica para el análisis de circuitos de corriente alterna, en sistemas de control para el análisis de estabilidad, y en el procesamiento de señales. Matemáticamente, garantizan que una ecuación sin raíz real siempre tenga dos raíces complejas conjugadas.

Esta herramienta muestra directamente las raíces en la forma a+bi cuando Δ<0, y su resumen gráfico explica por qué la parábola nunca toca el eje x.

¿Cómo se construye una ecuación a partir de sus raíces? (Vieta invertido)

Cuando conoces dos raíces, puedes construir la ecuación usando las fórmulas de Vieta a la inversa: calcula b = −a(x1+x2) y c = a·x1·x2, y luego escribe ax²+bx+c=0. Elegir a=1 da la forma más simple.

Introduce dos raíces reales (o p y q para una raíz compleja) en la pestaña «Ecuación a partir de las raíces»; la herramienta calcula b y c, construye la ecuación, y la resuelve de nuevo para verificar las raíces.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática?
Primero reescribe la ecuación en la forma ax²+bx+c=0. Calcula el discriminante Δ=b²−4ac y aplica la fórmula cuadrática x=(−b±√Δ)/2a. Si Δ>0 hay dos raíces reales distintas, si Δ=0 hay una raíz real doble, y si Δ<0 hay dos raíces complejas en la forma a+bi. Puedes verificar las raíces con las fórmulas de Vieta (x1+x2=−b/a, x1·x2=c/a).
¿Qué es el discriminante?
El discriminante es la expresión Δ=b²−4ac que determina la estructura de las raíces de una ecuación cuadrática. Es el término bajo la raíz cuadrada en la fórmula cuadrática, y su signo indica directamente cuántas raíces reales existen y si la raíz es simple, doble, o compleja — es lo primero que hay que calcular antes de resolver la ecuación.
¿Qué ocurre si el discriminante es negativo?
Cuando Δ<0, la ecuación no tiene raíces reales; las raíces son un par de conjugados complejos escritos como x=a+bi y x=a−bi. Gráficamente, esto significa que la parábola nunca cruza el eje x: si a>0 la parábola está completamente por encima del eje x, y si a<0 está completamente por debajo.
¿Cuál es la fórmula cuadrática?
La fórmula cuadrática (fórmula general) es x=(−b±√(b²−4ac))/(2a). Sustituyes los coeficientes a, b, c, calculas primero el discriminante b²−4ac, tomas su raíz cuadrada, y el signo ± da dos raíces (o solo una, si Δ=0). Cuando a=0, la ecuación deja de ser cuadrática.
¿Qué son las fórmulas de Vieta?
Las fórmulas de Vieta relacionan las raíces de ax²+bx+c=0 con sus coeficientes: la suma de las raíces es x1+x2=−b/a, el producto de las raíces es x1·x2=c/a. Sirven para encontrar la suma/el producto de las raíces sin resolver la ecuación, para verificar rápidamente raíces ya encontradas, y para construir una ecuación a partir de raíces conocidas.
¿Cómo se encuentra el vértice de una parábola?
Para la parábola y=ax²+bx+c, la abscisa del vértice es h=−b/(2a) y la ordenada es k=c−b²/(4a) (o k=−Δ/4a). Si a>0 el vértice es el mínimo de la parábola, y si a<0 es el máximo; el eje de simetría es la recta vertical x=h.
¿Cuándo es posible la factorización?
Una expresión cuadrática puede factorizarse sobre los números reales en la forma a(x−x1)(x−x2) solo cuando el discriminante Δ≥0, donde x1 y x2 son las raíces reales. Cuando Δ=0, la expresión se convierte en un cuadrado perfecto, a(x−x1)². Cuando Δ<0, no puede factorizarse sobre los reales — solo sobre los números complejos.
¿Qué es completar el cuadrado?
Completar el cuadrado es un método que reescribe ax²+bx+c en la forma a(x−h)²+k, donde h=−b/(2a) y k=c−b²/(4a) son las coordenadas del vértice. Esta forma permite resolver la ecuación sin volver a derivar la fórmula cuadrática, y permite leer directamente el vértice de la parábola.
¿Cómo se muestran las raíces en forma exacta (radical/fracción)?
El resultado exacto proviene de simplificar la raíz cuadrada en x=(−b±√Δ)/2a: si el discriminante Δ no es un cuadrado perfecto, √Δ se reduce a su forma radical más simple g√m (ej. x=(3±√17)/2); si es un cuadrado perfecto, las raíces se escriben como fracciones racionales o enteros (ej. x1=1/2, x2=−2). Esta calculadora muestra esta forma exacta (radical/fracción) junto al redondeo decimal — es el resultado preciso esperado para exámenes y tareas.
¿Puedo resolver una ecuación sin convertirla antes a ax²+bx+c=0?
Sí. Introduce una ecuación en texto libre (ej. x²=5x−6 o 2x²+3x=2) en el campo «Pegar una ecuación» y haz clic en Analizar — la herramienta combina ambos lados, simplifica, y reduce la ecuación a los coeficientes a, b, c, y luego la resuelve automáticamente. Puedes introducir ² o ^2 para x², y se admiten coeficientes fraccionarios como 3/4.

Metodología y fuentes

El resolvedor de ecuaciones cuadráticas de ToolPico es una herramienta gratuita e independiente. El motor de cálculo aplica directamente el álgebra estándar: el discriminante Δ=b²−4ac determina el tipo de raíz; las raíces reales usan la fórmula cuadrática x=(−b±√Δ)/2a, las raíces complejas usan x=−b/2a ± (√|Δ|/2a)i; el vértice se encuentra completando el cuadrado, y las raíces se verifican con las fórmulas de Vieta (x1+x2=−b/a, x1·x2=c/a). Los resultados se calculan al instante en el cliente (en tu navegador); ningún dato se envía a un servidor.

Base: álgebra clásica y geometría analítica (el método del discriminante/raíz cuadrada, los teoremas de Vieta, completar el cuadrado). Estas reglas son hechos matemáticos atemporales que no requieren actualizaciones anuales. Última actualización: 26 de julio de 2026.
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