Si alguna vez has intentado calcular 20! o 100! en una calculadora normal y has visto un resultado redondeado o «Error», no es un fallo tuyo: es un límite del tipo de número que usa el dispositivo. Aquí explicamos por qué ocurre y cómo obtener el valor exacto, dígito a dígito.
Respuesta rápidaEl factorial de n, escrito n!, es el producto de todos los enteros positivos de 1 a n: n! = n × (n−1) × ... × 2 × 1, con 0! = 1 como caso base. Es una de las operaciones que crece más rápido en matemáticas: incluso más deprisa que una exponencial.
Esta definición tan simple aparece por todas partes: en combinatoria (contar ordenaciones), en probabilidad, en desarrollos en serie y en la propia definición de permutación y combinación. Lo curioso es lo rápido que crece: 5! = 120, 10! ya son 3.628.800, y 20! supera los 2 trillones. A partir de ahí, un factorial deja de «parecer» un número normal y empieza a comportarse como una curva casi vertical.
Producto vacío: 0! = 1 no es un capricho matemático, sino la consecuencia de definir el producto de «ningún número» como el elemento neutro de la multiplicación (1). Esto mantiene coherente la regla n! = n × (n−1)! incluso para n = 1.
Por qué los factoriales grandes necesitan BigInt
Respuesta rápidaEl tipo Number estándar de JavaScript (y de la mayoría de calculadoras) solo representa enteros con exactitud hasta unos 2^53 (≈9 mil billones). Ese límite se cruza hacia 18!–19!, y desde 171! el número se desborda directamente a infinito. La solución es calcular con BigInt, un tipo de precisión arbitraria que multiplica paso a paso sin perder ni un dígito.
Esto explica por qué, si multiplicas 20! a mano en una hoja de cálculo o en una app cualquiera, el resultado a veces aparece «redondeado» de forma sutil en los últimos dígitos: el Number ya perdió precisión, aunque el número siga pareciendo razonable. La calculadora de factorial de ToolPico usa BigInt en cada paso de la multiplicación, así que el resultado —incluso hasta 1000!, con miles de dígitos— es exacto en su totalidad, no una aproximación.
Ejemplo ilustrativo: crecimiento del número de dígitos de n! (valores exactos)
| n | n! | Dígitos |
|---|
| 10 | 3.628.800 | 7 |
| 20 | 2.432.902.008.176.640.000 | 19 |
| 50 | ≈3,04×10^64 | 65 |
| 100 | ≈9,33×10^157 | 158 |
| 1000 | ≈4,02×10^2567 | 2568 |
Dato clave: 100! tiene exactamente 158 dígitos. Es un número tan grande que supera con creces la cantidad estimada de átomos observables en muchos objetos cotidianos — un buen recordatorio de lo rápido que crece el factorial.
Factorial doble y subfactorial (derangement)
Respuesta rápidaEl factorial doble n!! salta de 2 en 2 (7!!=7×5×3×1=105). El subfactorial !n (número de derangement) cuenta las permutaciones en las que ningún elemento queda en su posición original (!4=9). Ambos son variantes especializadas que aparecen en combinatoria y probabilidad.
Un ejemplo clásico del subfactorial: si repartes n cartas numeradas en n sobres numerados al azar, !n es el número de formas de hacerlo de modo que ninguna carta acabe en el sobre que le correspondía. Con n=4, hay 9 de esas 24 ordenaciones posibles totales. La calculadora de factorial de ToolPico incluye pestañas separadas para n!, n!! y !n, además de una pestaña para el factorial decimal (función Gamma), útil quien necesite x! para valores no enteros.
De n! a permutaciones y combinaciones
Respuesta rápidaLa
permutación (nPr = n!/(n−r)!) cuenta ordenaciones donde el orden importa; la
combinación (nCr = n!/(r!(n−r)!)) cuenta selecciones donde no importa. Ambas fórmulas dependen directamente del factorial, así que un cálculo exacto de n! es imprescindible para obtener nPr o nCr correctos con valores grandes de n.
Por ejemplo (cifra ilustrativa): elegir y ordenar 3 finalistas entre 10 candidatos es una permutación (10P3 = 10!/(10−3)! = 720 formas distintas), mientras que elegir simplemente 3 personas para un comité, sin importar el orden, es una combinación (10C3 = 120 formas). La calculadora de factorial de ToolPico incluye mini-herramientas integradas para nPr, nCr (con y sin repetición) y el número de ceros finales de n! mediante la fórmula de Legendre.
Preguntas frecuentes
¿Cuántos dígitos tiene el factorial de 100?
100! tiene exactamente 158 dígitos y es aproximadamente igual a 9,332621544×10^157. Puedes introducir 100 en la calculadora de factorial de ToolPico y pulsar Calcular en la pestaña «n!» para ver al instante el resultado exacto de 158 dígitos junto con esta notación científica.
¿Por qué falla el cálculo de factoriales grandes en una calculadora normal?
El tipo Number habitual de JavaScript (y de muchas calculadoras de bolsillo) solo puede representar enteros con exactitud hasta aproximadamente 2^53 (unos 9 mil billones); ese límite se supera hacia 18!–19!, y a partir de 171!, un Number se desborda hacia el infinito. Por eso los factoriales grandes necesitan aritmética BigInt (precisión arbitraria) para calcularse sin perder dígitos.
¿Qué es el factorial doble (n!!)?
El factorial doble n!! comienza en n y disminuye de 2 en 2 en cada paso: si n es par, n!! = n×(n−2)×...×4×2; si n es impar, n!! = n×(n−2)×...×3×1. Por ejemplo, 7!! = 7×5×3×1 = 105 y 8!! = 8×6×4×2 = 384.
¿Qué es un subfactorial (derangement)?
El subfactorial !n (número de derangement) es el número de permutaciones de un conjunto de n elementos en las que ningún elemento permanece en su posición original. Por ejemplo, !4=9. El ejemplo clásico es repartir n cartas en n sobres de modo que ninguna acabe en su sobre correcto.
¿Cómo se relaciona el factorial con permutaciones y combinaciones?
La permutación (nPr = n!/(n−r)!) cuenta ordenaciones donde el orden importa, y la combinación (nCr = n!/(r!(n−r)!)) cuenta selecciones donde el orden no importa. Ambas fórmulas se construyen directamente a partir del factorial, por lo que un cálculo exacto de n! es la base de cualquier resultado correcto de nPr o nCr.
Nota metodológica: las cifras de ejemplo de nPr/nCr en este artículo son ilustrativas para explicar el concepto, no datos de un caso real. Todos los resultados de factorial mostrados (158 dígitos en 100!, etc.) se calculan con aritmética BigInt exacta. Este artículo tiene fines informativos y educativos, no sustituye asesoramiento matemático o estadístico especializado.