¿Cuántas formas hay de elegir un equipo de 3 entre 10 personas? nCr y nPr explicados
Si alguna vez te has preguntado cuántas quinielas distintas existen, cuántas contraseñas se pueden formar o cuántas disposiciones tiene la palabra «BANANA», la respuesta está en la combinatoria: las fórmulas de combinación (nCr) y permutación (nPr). Aquí las explicamos con ejemplos concretos y sin jerga innecesaria.
¿Importa el orden? Esa es la pregunta clave
Respuesta cortaSi el orden de los elementos elegidos importa (una disposición, una fila, un podio), usa permutación (nPr). Si el orden no importa (un grupo, un comité, una mano de cartas), usa combinación (nCr). Para los mismos n y r, nPr siempre es r! veces más grande que nCr.
Antes de aplicar cualquier fórmula, conviene detenerse un segundo y preguntarse: si intercambio dos de los elementos elegidos, ¿obtengo un resultado distinto? Si la respuesta es sí, estás ante una permutación. Si la respuesta es no —porque el grupo resultante es el mismo grupo, sin importar quién se eligió primero—, estás ante una combinación.
Fórmulas
Permutación: nPr = n! / (n−r)!
Combinación: nCr = n! / (r!·(n−r)!)
Factorial: n! = n×(n−1)×...×2×1, con 0! = 1 por convención.
El factorial crece muy rápido: 10! ya es 3.628.800, y 20! tiene 19 dígitos. Nuestra calculadora de factorial puede calcular estos valores exactos incluso para números de cientos de dígitos usando aritmética BigInt.
Ejemplo práctico: formar un equipo de 3 entre 10 personas
Respuesta cortaSi el equipo no tiene roles distintos (no importa quién sea «capitán»), hay 10C3 = 120 formas distintas de elegirlo. Si en cambio se eligen 3 cargos distintos (presidente, secretario, tesorero), hay 10P3 = 720 disposiciones posibles.
Este es un ejemplo hipotético con cifras redondas para ilustrar la diferencia, no un dato estadístico real. Veamos el desglose paso a paso para la combinación:
- n = 10 (total de personas disponibles)
- r = 3 (personas a elegir)
- C(10,3) = 10! / (3!·7!) = 3.628.800 / (6×5.040) = 120
Y para la permutación, donde el orden de asignación de los 3 cargos sí importa:
- P(10,3) = 10! / 7! = 10×9×8 = 720
- Nota que 720 = 120 × 3! = 120 × 6 — exactamente la relación nPr = nCr × r! mencionada arriba.
Ejemplo comparativo: elegir r personas de un grupo de n = 10 (cifras ilustrativas)
| r elegidos | 10Cr (sin orden) | 10Pr (con orden) |
|---|
| 1 | 10 | 10 |
| 2 | 45 | 90 |
| 3 | 120 | 720 |
| 4 | 210 | 5.040 |
Este tipo de cálculo aparece en la vida real al estimar cuántas combinaciones de lotería existen, cuántas contraseñas de cierta longitud son posibles, o cuántas manos distintas se pueden repartir en un juego de cartas.
Cuando hay elementos repetidos: contraseñas y palabras
Respuesta cortaCuando se permite repetir elementos (por ejemplo, dígitos en un PIN) o cuando la secuencia original ya contiene elementos idénticos (como letras repetidas en una palabra), se usan las variantes «con repetición» de las fórmulas, no las básicas nCr/nPr.
Un caso clásico es contar las disposiciones distintas de una palabra con letras repetidas. La palabra «BANANA» tiene 6 letras, pero solo 3 son distintas: B (×1), A (×3), N (×2). El número de anagramas distintos es:
- 6! / (1!·3!·2!) = 720 / 12 = 60 disposiciones distintas
Dato clave: si tratáramos las 6 letras como si fueran todas distintas, obtendríamos 6! = 720 disposiciones, pero muchas de ellas se repiten porque intercambiar las A's entre sí (o las N's entre sí) no cambia la palabra visualmente. Dividir por los factoriales de cada grupo repetido corrige ese exceso de conteo.
Del mismo modo, la combinación con repetición sirve para preguntas como «¿de cuántas formas puedo elegir 5 piezas de fruta entre 3 tipos disponibles, pudiendo repetir tipo?» — un escenario distinto al de elegir 5 personas distintas de un grupo, porque aquí sí se permite repetir la misma opción varias veces.
Mesas redondas, collares y otros casos especiales
Respuesta cortaSentar n personas alrededor de una mesa redonda tiene (n−1)! disposiciones distintas, no n!, porque rotar todo el círculo produce la misma distribución relativa. Para un collar o pulsera, donde además se puede voltear, se divide una vez más entre 2: (n−1)!/2.
Por ejemplo, 6 personas sentadas en una mesa redonda tienen (6−1)! = 5! = 120 disposiciones distintas, en lugar de las 720 que habría en una fila lineal. Este ajuste es importante en problemas de organización de eventos, diseño de collares con cuentas de colores, o cualquier disposición circular donde la posición absoluta no importa, solo la posición relativa entre elementos.
Si además necesitas verificar divisores comunes o simplificar fracciones al repartir estos grupos en subconjuntos iguales, nuestra calculadora de MCD y MCM puede ayudarte con esa parte del problema.
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Preguntas frecuentes
¿Qué es nCr y cómo se calcula?
nCr (combinación) es el número de formas de elegir r elementos de un conjunto de n, donde el orden no importa. Fórmula: C(n,r) = n! / (r!·(n−r)!). Por ejemplo, un equipo de 3 personas entre 10 (donde no importa quién es «presidente» o «miembro») se puede formar de 10C3 = 120 formas distintas.
¿Cuál es la diferencia entre permutación y combinación?
En una permutación (nPr), el orden de los elementos importa (una disposición); en una combinación (nCr), el orden no importa (una selección/grupo). Para los mismos n y r, nPr siempre es r! veces mayor que nCr: nPr = nCr × r!. Ejemplo: elegir 2 personas de 3 en un orden (presidente, luego vicepresidente) da 3P2 = 6 formas, mientras que elegir un grupo sin orden de 2 da 3C2 = 3 formas.
¿Qué es una permutación con repetición y cuándo se usa?
Una permutación con repetición cuenta los órdenes distintos de una secuencia que contiene elementos idénticos. Si n elementos consisten en n1, n2, ..., nk copias de cada elemento distinto, el número de disposiciones distintas es n! / (n1!·n2!·...·nk!). Ejemplo: la palabra «BANANA» (6 letras: 3 A, 2 N, 1 B) tiene 6!/(3!·2!·1!) = 60 disposiciones distintas.
¿Por qué los factoriales más allá de 170 muestran «Infinity» en una calculadora normal?
JavaScript y la mayoría de las calculadoras usan números de punto flotante (doble precisión), cuyo límite superior es de aproximadamente 1,79×10^308. 171! supera ese límite, así que el resultado se muestra como «Infinity». La calculadora de ToolPico usa el tipo de dato BigInt, que conserva precisión entera completa, para calcular con exactitud incluso factoriales de miles de dígitos.
¿Qué es una permutación circular (mesa redonda)?
Una permutación circular es el número de formas en que n elementos pueden disponerse alrededor de un círculo (una mesa redonda). Como rotar toda la disposición produce el mismo arreglo, el conteo lineal n! se divide entre n, dando (n−1)!. Ejemplo: 6 personas pueden sentarse alrededor de una mesa redonda de (6−1)! = 5! = 120 formas diferentes.
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Nota: los ejemplos numéricos de esta guía son ilustrativos y buscan explicar el método, no representan datos estadísticos reales de ningún caso concreto. Esta guía tiene fines informativos y educativos; para cálculos exactos, usa la calculadora enlazada arriba.