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Der Potenz- & Wurzelrechner

Potenziere eine Zahl (mit ganzzahligem, negativem oder gebrochenem Exponenten), berechne eine Quadratwurzel, Kubikwurzel oder n-te Wurzel und vereinfache Wurzelausdrücke (√72 = 6√2) — alles in einem Tool, mit Schritt-für-Schritt-Rechenweg sowie exakten, dezimalen und wissenschaftlichen Ergebnissen.

4 Modi in einem Tool Exakte + dezimale Ergebnisse Kostenlos, keine Anmeldung Stand: 22. Juli 2026
Kann eine Dezimalzahl oder negativ sein (z. B. 1,5 oder -3).
Gib eine ganze Zahl, eine negative Zahl oder einen Bruch wie 2/3 ein.
2 = Quadratwurzel, 3 = Kubikwurzel, 4 = 4. Wurzel…
Der Radikand. Kann bei einer Wurzel mit ungeradem Wurzelexponenten negativ sein.
Zerlegt die ganze Zahl unter der Wurzel in Primfaktoren und reduziert sie auf die einfachste Wurzelform (z. B. √72 = 6√2).
Erlaubt: + − × ÷ ^ ( ), √, ∛, sqrt(), cbrt(), root(a,n), pi, e. Beispiel: 2^(1/2), root(64,3). In diesem Feld wird für Dezimalzahlen ein Punkt verwendet (2.5), da Kommas hier Funktionsargumente trennen (z. B. root(a,n)).
⚙️ Erweitert — Nachkommastellen, wissenschaftliche Notation, Schritt für Schritt
Wissenschaftliche NotationZeigt das Ergebnis zusätzlich als a × 10ⁿ
Schritt-für-Schritt-LösungZeigt die Rechenschritte
Kurzantwort Ein Exponent steht für wiederholte Multiplikation: aⁿ = a × a × … × a. Eine Wurzel ist die Umkehrung davon: ⁿ√a ist die Zahl, deren n-te Potenz a ergibt. Dieses Tool berechnet Potenzen, Quadrat-, Kubik- und n-te Wurzeln, vereinfacht Wurzelausdrücke (√72 = 6√2) und zeigt exakte, dezimale und wissenschaftliche Ergebnisse Schritt für Schritt.
√2 (Quadratwurzel von 2)
√3 (Quadratwurzel von 3)
∛2 (Kubikwurzel von 2)
π (Pi)
⚙️ Genauigkeitshinweis: Ganzzahlige Potenz- und Wurzelberechnungen werden exakt durchgeführt; die Vereinfachung zerlegt die ganze Zahl unter der Wurzel in Primfaktoren und zieht vollständige Potenzen heraus. Irrationale Ergebnisse (z. B. √2) haben unendlich viele Nachkommastellen und werden auf die gewählte Anzahl an Stellen gerundet. Wurzeln mit geradem Wurzelexponenten haben keinen reellen Wert für einen negativen Radikanden. Alle Berechnungen laufen in deinem Browser; es werden keine Daten an einen Server gesendet.
√ Potenz- & Wurzelrechner — ToolPico ↗

Potenzen und Wurzeln: ein kurzer, aber vollständiger Leitfaden

Wie Potenzieren, Quadrat-/Kubik-/n-te Wurzeln, negative und gebrochene Exponenten sowie Wurzelvereinfachung funktionieren — mit Beispielen.

Ein Exponent ist eine kompakte Schreibweise für die wiederholte Multiplikation einer Basis mit sich selbst: aⁿ = a × a × … × a (n Faktoren). Eine Wurzel ist die Umkehroperation: ⁿ√a ist die Zahl, deren n-te Potenz a ergibt. Beide sind über die Identität a^(1/n) = ⁿ√a miteinander verbunden. Der Rechner oben beherrscht beides, vereinfacht außerdem Wurzelausdrücke und wertet gemischte Ausdrücke aus.

Wie potenziert man eine Zahl?

KurzantwortPotenzieren multipliziert die Basis so oft mit sich selbst, wie der Exponent angibt: aⁿ = a × a × … × a. Beispiel: 2⁵ = 2×2×2×2×2 = 32. Sonderfälle: a⁰ = 1 (a≠0), a¹ = a, 1ⁿ = 1. Bei der Multiplikation gleicher Basen addieren sich die Exponenten, bei der Division subtrahieren sie sich: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.

Was ist ein negativer Exponent?

KurzantwortEin negativer Exponent liefert den Kehrwert der Basis: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ. Beispiel: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125. Anders gesagt: Ein negativer Exponent schickt die Zahl in den Nenner und verkleinert sie. 0⁻ⁿ ist nicht definiert.

Was ist ein gebrochener (rationaler) Exponent?

KurzantwortEin gebrochener Exponent drückt eine Wurzel aus: a^(1/n) = ⁿ√a und a^(p/n) = ⁿ√(aᵖ). Beispiel: 8^(2/3) = ∛(8²) = ∛64 = 4. Gibst du im Reiter „Potenz” einen Bruch wie 2/3 als Exponenten ein, wandelt das Tool das Ergebnis in Wurzelform um.

Wie berechnet man eine Quadratwurzel?

KurzantwortEine Quadratwurzel (√a) ist die positive Zahl, deren Quadrat a ergibt: √a = b ⇔ b² = a. Beispiel: √144 = 12. Ist die Zahl keine Quadratzahl, ist das Ergebnis irrational; es wird die einfachste Wurzelform zusammen mit einer Dezimalnäherung angegeben (√2 ≈ 1,41421).

Wie findet man eine Kubikwurzel oder eine n-te Wurzel?

KurzantwortEine Kubikwurzel (∛a) ist die Zahl, deren Kubik a ergibt: ∛27 = 3, ∛(−8) = −2. Allgemein ist ⁿ√a die Zahl, deren n-te Potenz a ergibt, gleichwertig zu a^(1/n). Beispiel: ⁴√16 = 2, ⁵√32 = 2. Eine Wurzel mit geradem Wurzelexponenten kann keinen negativen Radikanden haben (im Reellen); eine Wurzel mit ungeradem Wurzelexponenten schon.

Wie vereinfacht man eine Wurzel (√72 = 6√2)?

KurzantwortDie Zahl unter der Wurzel wird in Primfaktoren zerlegt, und alle vollständigen Potenzen, die dem Wurzelexponenten entsprechen, werden herausgezogen. √72 = √(2³×3²) = √(36×2) = 6√2. Bei Kubikwurzeln kommen Dreiergruppen heraus: ∛54 = ∛(27×2) = 3∛2. Der Reiter „Vereinfachen” zeigt jeden Schritt.

Beliebte Potenz- & Wurzelberechnungen

Beispiele mit einem Klick, die direkt zum Rechner springen. Jeder Link öffnet den passenden Reiter und füllt die Werte aus.

Verwandte Mini-Rechner

Umrechnung gebrochener Exponent ↔ Wurzel, Prüfung auf Quadrat-/Kubikzahl und wissenschaftliche Notation — alles sofort, direkt in deinem Browser.

🔁Gebrochener Exponent ↔ Wurzel
Wandelt a^(p/q) in Wurzelform um: a^(p/q) = ᵠ√(aᵖ). Vereinfacht das Ergebnis, wenn möglich.
🔍Quadratzahl-/Kubikzahl-Prüfung
Prüft, ob eine Zahl eine Quadratzahl, Kubikzahl oder n-te Potenz ist, und zeigt die nächstgelegenen perfekten Potenzen.
🔬Wissenschaftliche Notation
Zeigt eine sehr große oder sehr kleine Zahl in der Form a × 10ⁿ neben der Standardschreibweise an.

Referenztabellen

Quadratzahlen, Kubikzahlen, Zweier- und Zehnerpotenzen sowie die wichtigsten Potenz- und Wurzelgesetze — alles zum Auswendiglernen wert.

Quadratzahlen: n und n² (1–20)
nn² (Quadratzahl)

Stimmt die Quadratwurzel einer Zahl mit einem Wert in dieser Tabelle überein, ist das Ergebnis eine ganze Zahl; andernfalls ist es irrational.

Kubikzahlen: n und n³ (1–15)
nn³ (Kubikzahl)

Kubikwurzeln von Kubikzahlen sind ganze Zahlen: ∛27 = 3, ∛64 = 4. Auch für negative Zahlen definiert: ∛(−8) = −2.

Zweier- und Zehnerpotenzen
Exponent (n)2ⁿ10ⁿ

Zweierpotenzen kommen in der Informatik häufig vor (Byte, KB, MB); Zehnerpotenzen werden ständig in der wissenschaftlichen Notation verwendet.

Potenzgesetze
RegelBeispiel
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ2³·2² = 2⁵ = 32
aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ2⁵/2² = 2³ = 8
(aᵐ)ⁿ = aᵐˑⁿ(2³)² = 2⁶ = 64
(a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ(2·3)² = 4·9 = 36
a⁻ⁿ = 1 / aⁿ2⁻³ = 1/8 = 0,125
a⁰ = 1 (a≠0)7⁰ = 1
a^(1/n) = ⁿ√a8^(1/3) = ∛8 = 2
Wurzelgesetze
RegelBeispiel
√(a·b) = √a · √b√72 = √36·√2 = 6√2
√(a/b) = √a / √b√(9/4) = 3/2
ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n)∛(8²) = 8^(2/3) = 4
a·ⁿ√b + c·ⁿ√b = (a+c)ⁿ√b2√3 + 5√3 = 7√3
(ⁿ√a)ⁿ = a(√5)² = 5
ⁿ√a · ⁿ√b = ⁿ√(a·b)√2·√8 = √16 = 4

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Glossar der Potenz- und Wurzelbegriffe

Kurze Definitionen der wichtigsten Begriffe rund um Potenzen und Wurzeln.

BasisDie Zahl, die in einem Potenzausdruck mit sich selbst multipliziert wird. In aⁿ ist a die Basis.
Exponent (Hochzahl)Die Anzahl, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. In aⁿ ist n der Exponent.
RadikandDie Zahl unter dem Wurzelzeichen. In ⁿ√a ist a der Radikand.
WurzelexponentDie Ordnung der Wurzel. In ⁿ√a ist das n; 2 bedeutet Quadratwurzel, 3 bedeutet Kubikwurzel.
QuadratzahlEine Zahl, die das Quadrat einer ganzen Zahl ist (1, 4, 9, 16, 25…). Ihre Quadratwurzel ist eine ganze Zahl.
KubikzahlEine Zahl, die die Kubik einer ganzen Zahl ist (1, 8, 27, 64…). Ihre Kubikwurzel ist eine ganze Zahl.
Gebrochener ExponentEin Exponent aus Zähler und Nenner. a^(p/q) entspricht einer Wurzel: ᵠ√(aᵖ).
Negativer ExponentSteht für den Kehrwert: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Schickt die Basis in den Nenner.
Irrationale ZahlEine Zahl, die sich nicht als Bruch schreiben lässt; ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch (z. B. √2, π).
Wissenschaftliche NotationDie Schreibweise einer Zahl als a × 10ⁿ, wobei 1 ≤ |a| < 10. Beispiel: 4.200 = 4,2 × 10³.
PrimfaktorzerlegungDie Darstellung einer Zahl als Produkt von Primzahlen (72 = 2³·3²). Die Grundlage der Wurzelvereinfachung.
VereinfachungDas Reduzieren eines Wurzelausdrucks auf seine einfachste Form, indem vollständige Potenzen aus der Wurzel gezogen werden (√72 = 6√2).

Ausführliche Anleitungen

Ausführliche Antworten zu den Fragen, die am häufigsten verwechselt werden.

Warum ist √72 gleich 6√2? Schritt-für-Schritt-Vereinfachung

Schritt 1: Zerlege die Zahl unter der Wurzel in Primfaktoren: 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3². Schritt 2: Bei einer Quadratwurzel gruppierst du die Faktoren paarweise; jedes vollständige Paar kommt als einzelner Faktor aus der Wurzel heraus. 2² ist eine Quadratzahl → 2 kommt heraus; 3² ist eine Quadratzahl → 3 kommt heraus; eine übrig gebliebene 2 bleibt unter der Wurzel.

Schritt 3: √72 = √(2² × 3² × 2) = 2 × 3 × √2 = 6√2. Dezimalwert ≈ 8,485. Gib 72 im Reiter „Vereinfachen” ein und klicke auf Berechnen, um dieselben Schritte zu sehen.

Wie berechnet man 8^(2/3)? Der Zusammenhang zwischen gebrochenen Exponenten und Wurzeln

Bei einem gebrochenen Exponenten ist der Zähler (die obere Zahl) die Potenz und der Nenner (die untere Zahl) der Wurzelexponent: a^(p/q) = ᵠ√(aᵖ) = (ᵠ√a)ᵖ. In unserem Beispiel lässt sich 8^(2/3) auf zwei Wegen berechnen: erst potenzieren → ∛(8²) = ∛64 = 4; oder erst die Wurzel ziehen → (∛8)² = 2² = 4. Beide ergeben 4.

Praktischer Tipp: Zuerst die Wurzel zu ziehen hält die Zahlen meist kleiner und leichter handhabbar. Probiere es im Reiter „Potenz” aus, indem du bei Basis 8 den Exponenten 2/3 eingibst — das Tool zeigt sowohl die Wurzelform als auch den Dezimalwert.

Kann man die Wurzel einer negativen Zahl ziehen? Gerader vs. ungerader Wurzelexponent

Bei einer Wurzel mit geradem Wurzelexponenten (Quadratwurzel, 4. Wurzel…) darf der Radikand nicht negativ sein, denn keine reelle Zahl ergibt hoch einer geraden Potenz ein negatives Ergebnis. √(−4) ist im Reellen nicht definiert (im Komplexen entspricht es 2i). Bei einer Wurzel mit ungeradem Wurzelexponenten (Kubikwurzel, 5. Wurzel…) ist ein negativer Radikand kein Problem: ∛(−8) = −2, weil (−2)³ = −8.

Dieses Tool warnt dich, wenn du bei geradem Wurzelexponenten einen negativen Radikanden eingibst, und setzt bei ungeradem Wurzelexponenten korrekt das Vorzeichen des Ergebnisses.

Häufig gestellte Fragen

Wie potenziert man eine Zahl (Potenzieren)?
Potenzieren bedeutet, die Basis so oft mit sich selbst zu multiplizieren, wie der Exponent angibt: aⁿ = a × a × … × a (n Faktoren). Zum Beispiel ist 2⁵ = 2×2×2×2×2 = 32. Jede von null verschiedene Zahl hoch 0 ergibt 1 (a⁰ = 1, a≠0), und jede Zahl hoch 1 ergibt sich selbst. Gib Basis und Exponent im Reiter „Potenz” ein, um das exakte ganzzahlige, dezimale und wissenschaftliche Ergebnis Schritt für Schritt zu erhalten.
Wie berechnet man eine Quadratwurzel?
Die Quadratwurzel einer Zahl (√a) ist die positive Zahl, deren Quadrat sie ergibt: √a = b bedeutet b² = a. Zum Beispiel ist √144 = 12, weil 12² = 144. Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, haben irrationale Quadratwurzeln, die als Dezimalnäherung angegeben werden (√2 ≈ 1,41421). Lasse im Reiter „Wurzel” den Wurzelexponenten auf 2 und gib die Zahl ein — das Tool liefert sowohl die vereinfachte Wurzelform als auch den Dezimalwert.
Wie vereinfacht man eine Wurzel?
Die Zahl unter der Wurzel wird in Primfaktoren zerlegt, und alle vollständigen Potenzen, die dem Wurzelexponenten entsprechen, werden aus der Wurzel herausgezogen. Zum Beispiel: √72 = √(2³×3²) = √(36×2) = 6√2. Bei Kubikwurzeln kommen Dreiergruppen gleicher Faktoren heraus: ∛54 = ∛(27×2) = 3∛2. Der Reiter „Vereinfachen” zeigt diese Schritte zusammen mit der Primfaktorzerlegung.
Was ist ein negativer Exponent?
Ein negativer Exponent liefert den Kehrwert der Basis hoch dem positiven Exponenten: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ. Zum Beispiel ist 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125. Je größer die Basis, desto kleiner das Ergebnis. Ein negativer Exponent von null (0⁻ⁿ) ist nicht definiert. Gib im Reiter „Potenz” einen negativen Wert (z. B. -3) ins Exponentenfeld ein, um ihn zu berechnen.
Wie findet man eine Kubikwurzel?
Die Kubikwurzel einer Zahl (∛a) ist die Zahl, deren Kubik sie ergibt: ∛a = b bedeutet b³ = a. Zum Beispiel ist ∛27 = 3 (3³=27), ∛64 = 4. Kubikwurzeln sind auch für negative Zahlen definiert: ∛(−8) = −2. Ist die Zahl keine Kubikzahl, ist das Ergebnis irrational. Setze im Reiter „Wurzel” den Wurzelexponenten auf 3.
Wie berechnet man eine n-te Wurzel?
Die n-te Wurzel einer Zahl (ⁿ√a) ist die Zahl, deren n-te Potenz sie ergibt, in Exponentenschreibweise a^(1/n). Zum Beispiel ist ⁴√16 = 2 (2⁴=16), ⁵√32 = 2. Wurzeln mit geradem Wurzelexponenten können keinen negativen Radikanden haben; Wurzeln mit ungeradem Wurzelexponenten schon. Gib im Reiter „Wurzel” deinen gewählten Wurzelexponenten n ein.
Sind gebrochene Exponenten und Wurzeln dasselbe?
Ja. Ein gebrochener Exponent drückt eine Wurzel aus: a^(1/n) = ⁿ√a und a^(p/n) = ⁿ√(aᵖ) = (ⁿ√a)ᵖ. Zum Beispiel ist 8^(2/3) = ∛(8²) = 4. Gib im Reiter „Potenz” den Exponenten als Bruch ein (z. B. 2/3), und das Tool wandelt das Ergebnis in Wurzelform um.
Wie genau sind die Ergebnisse, und wie werden sie berechnet?
Ganzzahlige Potenz- und Wurzelberechnungen werden exakt durchgeführt; irrationale Ergebnisse werden auf die gewählte Anzahl an Nachkommastellen gerundet (2–12). Die gesamte Berechnung läuft in deinem Browser nach Standard-Algebraregeln; es werden keine Daten an einen Server gesendet. Die Methode ist zeitlos und hängt nicht von Daten ab, die sich jährlich ändern. Zuletzt geprüft: 22. Juli 2026.

Methodik & Quellen

ToolPicos Potenz- & Wurzelrechner ist ein kostenloses, unabhängiges Tool. Die ganzzahlige Potenzierung wird mit exakter Ganzzahl-Arithmetik (BigInt) berechnet; das Ziehen von Wurzeln und die Vereinfachung erfolgen durch Primfaktorzerlegung des Radikanden und Herausziehen vollständiger Potenzen, die dem Wurzelexponenten entsprechen. Die Umrechnung zwischen gebrochenem Exponenten und Wurzel basiert auf der Identität a^(p/q) = ᵠ√(aᵖ). Irrationale Werte werden mit IEEE-754-Gleitkommazahlen berechnet und auf die gewählte Anzahl an Stellen gerundet.

Grundlage: Standard-Algebra der Sekundarstufe (Potenz- und Wurzelgesetze). Die Konzepte sind zeitlos und hängen nicht von Sätzen oder Daten ab. Zuletzt aktualisiert: 22. Juli 2026. Die Ergebnisse dienen nur zu Informations- und Bildungszwecken.

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