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Der Fakultätsrechner (n!)

Berechne n! mit BigInt bis 1000!, ohne eine einzige Ziffer zu verlieren. Enthält Schritt-für-Schritt-Erweiterung, wissenschaftliche Schreibweise, Doppelfakultät, Subfakultät (Fehlordnung), Permutationen und Kombinationen — alles sofort und kostenlos.

Exakt bis 1000! mit BigInt 171! → Number-Überlauf 0! = 1 Stand: 19. Juli 2026
Es wird das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis n berechnet. 0! = 1.
Ist n gerade: n×(n−2)×...×2. Ist n ungerade: n×(n−2)×...×1.
Die Anzahl der Permutationen, bei denen kein Element an seiner ursprünglichen Position bleibt.
Die Fakultät einer nicht-ganzen Zahl wird über die Gamma-Funktion definiert: x! = Γ(x+1). Z. B. 0,5, 2,5, 4,5, −0,5.
Vergleiche zwei Fakultäten: Das Verhältnis der größeren zur kleineren (n!/m!) wird als exakte ganze Zahl berechnet.
⚙️ Erweiterte Einstellungen — Erweiterungslimit, wissenschaftliche Schreibweise, Tausendertrennzeichen
Tausendertrennzeichen anzeigenGruppiert die ganze Zahl, z. B. 1.000
Kurzantwort Die Fakultät (n!) ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n; 0! ist per Definition 1. Das Ergebnis wächst extrem schnell und übersteigt ab etwa 18–20! die Grenzen einer gewöhnlichen Number; dieses Tool nutzt BigInt, um bis 1000! das exakte Ergebnis mit jeder Ziffer sowie die wissenschaftliche Schreibweise zu liefern.
1Definition von 0! (leeres Produkt)
171ab diesem n läuft Number über
158Ziffern in 100!
2568Ziffern in 1000!
⚙️ Genauigkeitshinweis: Alle Ergebnisse für Fakultät, Doppelfakultät, Subfakultät (Fehlordnung), Permutation und Kombination werden mit der JavaScript-BigInt-Arithmetik berechnet — es wird keine Dezimalrundung angewendet, und keine Ziffer geht jemals verloren. Eingaben für n sind auf den Bereich 0–1000 begrenzt (selbst 1000! wird in Millisekunden mit voller Genauigkeit berechnet). Wissenschaftliche Schreibweise und die Stirling-Näherung dienen nur der besseren Lesbarkeit und dem Abgleich; das zugrunde liegende Ergebnis ist immer der exakte Wert.
🔢 Fakultätsrechner — ToolPico ↗

Was ist eine Fakultät, und wie wird sie berechnet?

Eine vollständige Anleitung — mit Formeln und Beispielen — zu Fakultät, ihrer rekursiven Regel, BigInt für große Zahlen, Doppelfakultät und Subfakultät.

Eine Fakultät, gekennzeichnet durch ein Ausrufezeichen (!) nach einer ganzen Zahl n, ist die mathematische Operation, die das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n darstellt: n! = n × (n−1) × (n−2) × ... × 2 × 1. Die Fakultät ist einer der grundlegenden Bausteine der Kombinatorik, von Permutationen, Kombinationen, Wahrscheinlichkeitsberechnungen und Reihenentwicklungen (z. B. der Taylorreihe).

Wie lautet die Fakultätsformel und ihre rekursive Regel?

KurzantwortDie Fakultätsformel lautet n! = n × (n−1) × ... × 2 × 1; sie lässt sich auch rekursiv als n! = n × (n−1)! schreiben, mit 0! = 1 als Basisfall (die Regel des leeren Produkts). Für sehr große n lässt sich der Näherungswert mit der Stirling-Formel finden: n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n.
  • Basisfall: 0! = 1, 1! = 1.
  • Rekursion: jedes n! ergibt sich aus dem vorherigen (n−1)! multipliziert mit n.
  • Wachstumsrate: die Fakultät wächst sogar schneller als eine Exponentialfunktion (a^n) — man spricht von superexponentiellem Wachstum.

Warum wird die Fakultät großer Zahlen mit BigInt berechnet?

KurzantwortDer gewöhnliche JavaScript-Datentyp Number kann ganze Zahlen nur bis etwa 2^53 (≈9 Billiarden) exakt darstellen; diese Grenze wird bei etwa 18!–19! überschritten, und ab 171! läuft ein Number zu Infinity über. Dieses Tool führt jeden Multiplikationsschritt mit BigInt aus und liefert so bis 1000! ein exaktes Ergebnis mit jeder Ziffer.

In der Praxis bedeutet das: Fragen wie „wie viele Ziffern?” oder „auf welchen Ziffern endet es genau?” lassen sich nur mit BigInt (oder einer vergleichbaren Arithmetik mit beliebiger Genauigkeit) korrekt beantworten. Ein gewöhnlicher Taschenrechner oder eine Rechner-App zeigt ab etwa 20! meist einen gerundeten/angenäherten Wert; dieses Tool speichert stattdessen den exakten Wert und zeigt ihn auf Wunsch an.

Was sind Doppelfakultät (n!!) und Subfakultät (!n)?

KurzantwortDie Doppelfakultät n!! ist ein Produkt, das sich bei jedem Schritt um 2 verringert (z. B. 7!!=7×5×3×1=105). Die Subfakultät !n (Fehlordnungszahl) ist die Anzahl der Permutationen einer n-elementigen Menge, bei denen kein Element an seiner ursprünglichen Position bleibt (z. B. !4=9). Beide werden in speziellen kombinatorischen Aufgaben verwendet (Reihenentwicklungen, Wahrscheinlichkeit, Verteilungsprobleme).

Fakultätsbeispiele, von klein bis groß

Die am häufigsten gesuchten n!-Werte — exaktes Ergebnis und Ziffernanzahl. Für exakte und dezimale Ergebnisse nutze den Rechner oben.

Häufig gesuchte Fakultätswerte (exaktes Ergebnis, berechnet mit BigInt)
nn!Ziffern

Beliebte Berechnungen

Verwandte Rechner: Permutation, Kombination & nachfolgende Nullen

Die häufigsten Anwendungen der Fakultät — geordnete Auswahl (Permutation), ungeordnete Auswahl (Kombination) und die Anzahl nachfolgender Nullen von n! — alle mit exakten BigInt-Ergebnissen.

🔢Permutation (nPr)
Die Anzahl der geordneten Anordnungen von r Elementen aus n: nPr = n! / (n−r)!.
🎯Kombination (nCr)
Die Anzahl der ungeordneten Auswahlen von r Elementen aus n: nCr = n! / (r!·(n−r)!).
0️⃣Anzahl nachfolgender Nullen
Ermittelt, auf wie vielen Nullen n! endet, mithilfe der Legendre-Formel: ⌊n/5⌋+⌊n/25⌋+...

Referenztabellen & praktische Fakten

Zitierfähige exakte Werte: kleine Fakultäten, Ziffernanzahl großer Fakultäten, Doppelfakultät, Subfakultät sowie Permutations-/Kombinationsformeln.

Exakte Werte von 0! – 20!
nn!
Große Fakultäten — wissenschaftliche Schreibweise und exakte Ziffernanzahl (berechnet mit BigInt)
nWissenschaftliche SchreibweiseZiffern

Hinweis: 170! ist die größte Fakultät, die im IEEE-754-Double-Typ (Number) ohne Überlauf berechnet werden kann; 171! ergibt mit Number Infinity.

Tabelle der Doppelfakultät (n!!), n=0–12
nn!!
Tabelle der Subfakultät / Fehlordnung (!n), n=0–12
n!n
Formeln für Permutation / Kombination und Beispiel (n=10, r=3)
FormelBedeutungBeispiel (n=10,r=3)
P(n,r) = n! / (n−r)!Geordnete Auswahl (Permutation)
C(n,r) = n! / (r!·(n−r)!)Ungeordnete Auswahl (Kombination)
P(n,r) / r!Zusammenhang zwischen P und CEntspricht C(n,r)

Vollständige Ziffernfolge jeder Fakultät von 0! bis 100! — ergänzend zur kompakten 0–20-Tabelle oben. Jede Zeile ist die exakte, mit BigInt berechnete ganze Zahl (keine wissenschaftliche Schreibweise, keine Rundung).

Alle Fakultäten von 0! bis 100! (exakt, BigInt) — kopierbar oder als .txt/.csv herunterladbar
nn!Ziffern

Glossar der Fakultätsbegriffe

Kurze Definitionen der wichtigsten Begriffe rund um Fakultät und Kombinatorik.

Fakultät (n!)Das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n. 0! ist per Definition 1.
Leeres ProduktDie Regel, dass ein Produkt ohne Zahlen gleich 1 ist; die mathematische Grundlage für 0! = 1.
Doppelfakultät (n!!)Ein Produkt, das bei n beginnt und sich bei jedem Schritt um 2 verringert. Endet bei 2, wenn n gerade ist, bei 1, wenn ungerade.
Subfakultät / Fehlordnung (!n)Die Anzahl der Permutationen, bei denen kein Element an seiner ursprünglichen Position bleibt.
Permutation (nPr)Die Anzahl der geordneten Möglichkeiten, r Elemente aus n auszuwählen: n!/(n−r)!.
Kombination (nCr)Die Anzahl der ungeordneten Möglichkeiten, r Elemente aus n auszuwählen: n!/(r!(n−r)!).
Stirling-NäherungEine Formel zur Näherung von n! für große n: n! ≈ √(2πn)·(n/e)^n.
Wissenschaftliche SchreibweiseEine Möglichkeit, sehr große Zahlen als a×10^b mithilfe der ersten signifikanten Ziffern darzustellen.
ZiffernanzahlDie Anzahl der Ziffern in der Dezimaldarstellung einer ganzen Zahl; für n! ungefähr log10(n!)+1.
Anzahl nachfolgender NullenAuf wie vielen Nullen n! endet; entspricht der Anzahl der Faktoren 5 im Produkt (Legendre-Formel).
BigIntEin JavaScript-Datentyp, der beliebig große ganze Zahlen exakt und ohne Rundung speichern kann.
Superexponentielles WachstumDie Eigenschaft der Fakultät, sogar schneller zu wachsen als Exponentialfunktionen (a^n).

Ausführliche Anleitungen

Detaillierte Antworten auf die am häufigsten gestellten Fragen zur Fakultät.

Wie viele Ziffern hat 100 Fakultät? Wie wird sie berechnet?

100! hat genau 158 Ziffern und ist ungefähr gleich 9,332621544×10^157. Die Ziffernanzahl lässt sich auch schätzen, indem man den ganzzahligen Teil von log10(100!) nimmt und 1 addiert (die Stirling-Näherung ergibt ≈157,97, +1 = 158). Gib 100 in dieses Tool ein und drücke im Reiter „n!” auf Berechnen, um sofort das exakte 158-stellige Ergebnis, die wissenschaftliche Schreibweise und die Ziffernanzahl zu sehen.

Die Ziffernanzahl exakt mit BigInt zu berechnen, statt sich auf auswendig gelernte Näherungen zu verlassen, liefert eine präzise und unstrittige Antwort für Hausaufgaben, die Überprüfung von Forschungsergebnissen oder Fragen in Programmier-Vorstellungsgesprächen (z. B. „wie viele Ziffern hat n!?”).

Warum wächst die Fakultät so schnell? (erklärt mit der Stirling-Formel)

Die Fakultät wächst sogar schneller als Exponentialfunktionen (z. B. 2^n), weil bei jedem Schritt das bisherige Ergebnis mit einer immer größer werdenden Zahl multipliziert wird — man spricht von superexponentiellem Wachstum. Die Stirling-Näherung (n! ≈ √(2πn)·(n/e)^n) erklärt dieses Wachstum mathematisch: Der Term (n/e)^n ist dabei der Haupttreiber.

Konkretes Beispiel: 20! beträgt ungefähr 2,43×10^18, während 25! ungefähr 1,55×10^25 beträgt — ein Sprung von nur 5 bei n macht das Ergebnis mehr als 10 Millionen Mal größer. Deshalb stoßen gewöhnliche Taschenrechner ab etwa 20! an die Grenzen einer normalen Number, und BigInt (wie in diesem Tool verwendet) wird notwendig.

Wie wird die Fakultät bei Permutationen und Kombinationen verwendet?

Permutation (nPr) gibt die Anzahl der geordneten Anordnungen/Auswahlen von r Elementen aus n an, mit der Formel nPr = n!/(n−r)!. Kombination (nCr) ist die Auswahl ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, mit der Formel nCr = n!/(r!·(n−r)!) — die Kombination ist die Permutation geteilt durch r!, weil bei einer Kombination alle Anordnungen derselben r Elemente als eine einzige Auswahl zählen.

Zum Beispiel gibt es für eine geordnete Rangfolge (1., 2., 3. Platz) von 3 Personen aus einer Gruppe von 10 P(10,3)=720 mögliche Ergebnisse, während dieselben 3 Personen als ungeordnetes Komitee nur C(10,3)=120 mögliche Auswahlen ergeben. Nutze die Mini-Rechner oben, um sofort mit eigenen n- und r-Werten zu rechnen.

Häufig gestellte Fragen

Was ist eine Fakultät?
Eine Fakultät, gekennzeichnet durch ein Ausrufezeichen (!) nach einer positiven ganzen Zahl n, ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n. Zum Beispiel ist 5! = 5×4×3×2×1 = 120. Fakultäten bilden die Grundlage für Permutations-, Kombinations- und Wahrscheinlichkeitsberechnungen.
Was ist 0 Fakultät?
0! = 1. Das ergibt sich aus der mathematischen Regel des „leeren Produkts”: Wenn keine Zahlen miteinander multipliziert werden, ist das Ergebnis per Definition 1, das neutrale Element der Multiplikation. Diese Definition hält außerdem die rekursive Regel n! = n × (n−1)! bei n = 1 konsistent (1! = 1 × 0! = 1).
Wie wird die Fakultät großer Zahlen berechnet?
Der gewöhnliche JavaScript-Datentyp Number kann ganze Zahlen nur bis etwa 2^53 exakt darstellen; diese Grenze wird bei etwa 18!–19! überschritten, und ab 171! läuft ein Number zu Infinity über. Deshalb werden große Fakultäten mit dem Datentyp BigInt berechnet. Dieses Tool liefert bis 1000! ein exaktes Ergebnis mit jeder Ziffer.
Wie lautet die Fakultätsformel?
Die Fakultätsformel lautet n! = n × (n−1) × (n−2) × ... × 2 × 1; sie lässt sich auch rekursiv als n! = n × (n−1)! schreiben, mit 0! = 1 als Basisfall. Für sehr große n lässt sich der Näherungswert mit der Stirling-Formel finden: n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n.
Was ist eine Doppelfakultät (n!!)?
Die Doppelfakultät n!! beginnt bei n und verringert sich jeweils um zwei: Ist n gerade, gilt n!!=n×(n−2)×...×2; ist n ungerade, gilt n!!=n×(n−2)×...×1. Zum Beispiel ist 7!!=7×5×3×1=105 und 8!!=8×6×4×2=384. Per Definition gilt 0!!=1 und 1!!=1.
Wie viele Ziffern hat 100 Fakultät?
100! hat genau 158 Ziffern und ist ungefähr gleich 9,332621544×10^157. Gib 100 in den Rechner oben ein und drücke auf Berechnen, um sofort das exakte 158-stellige Ergebnis samt wissenschaftlicher Schreibweise zu sehen.
Was ist eine Subfakultät (Fehlordnung, !n)?
Die Subfakultät !n (Fehlordnungszahl) ist die Anzahl der Permutationen einer n-elementigen Menge, bei denen kein Element an seiner ursprünglichen Position bleibt. !0=1, !1=0, !2=1, !3=2, !4=9, und die allgemeine rekursive Regel lautet !n=(n−1)×(!(n−1)+!(n−2)).
Wie ermittelt man die Anzahl nachfolgender Nullen einer Fakultät?
Die Anzahl der nachfolgenden Nullen von n! entspricht der Anzahl der Faktoren 10 (Paare aus 2×5) im Produkt und hängt in der Praxis davon ab, wie oft 5 als Faktor vorkommt. Mit der Legendre-Formel gilt: Anzahl nachfolgender Nullen = ⌊n/5⌋+⌊n/25⌋+⌊n/125⌋+.... Zum Beispiel endet 100! auf genau 24 Nullen.
Kann man eine dezimale Fakultät (wie 0,5!) berechnen?
Ja. Die Fakultät einer nicht-ganzen Zahl wird über die Gamma-Funktion definiert, die die Fakultät auf alle reellen Zahlen verallgemeinert: x! = Γ(x+1). Zum Beispiel ist 0,5! = √π ⁄ 2 ≈ 0,8862 und (−0,5)! = √π ≈ 1,7725. Gib einen Wert wie 0,5, 2,5 oder 4,5 im Reiter „Dezimal (x!)” oben ein, um dieses Ergebnis sofort zu sehen, berechnet mit der Lanczos-Näherung (~10 signifikante Stellen). Da die Gamma-Funktion bei nicht-positiven ganzen Zahlen (0, −1, −2, …) Polstellen hat, ist die Fakultät dort nicht definiert.

Methodik & Quellen

ToolPicos Fakultätsrechner ist ein kostenloses, unabhängiges Tool. Die Berechnungslogik läuft vollständig in deinem Browser mit der JavaScript-BigInt-Arithmetik: Jeder Multiplikationsschritt wird mit voller Ganzzahlgenauigkeit ausgeführt, ohne Dezimalrundung. Wissenschaftliche Schreibweise, Ziffernanzahl und die Stirling-Näherung dienen nur der Lesbarkeit und dem Abgleich; die angezeigte ganze Zahl ist immer der exakte Wert. Die Anzahl nachfolgender Nullen wird mit der klassischen Formel von Legendre berechnet, die Subfakultät mit der üblichen rekursiven Regel.

Quellen: Klassische kombinatorische Definitionen (Fakultät, Doppelfakultät, Fehlordnung), die Stirling-Näherung und die Legendre-Formel zur Primfaktorzerlegung — allesamt universelle und zeitunabhängige mathematische Fakten. Zuletzt aktualisiert: 19. Juli 2026. Die Ergebnisse dienen nur zu Bildungs- und Informationszwecken.

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