Startseite > Blog > nCr oder nPr? Wann Kombination und wann Permutation zählt

Komitee, Lottozahlen, Passwort: Rechnest du gerade mit nCr oder mit nPr?

Die meisten Fehler in der Kombinatorik entstehen nicht bei der Formel, sondern bei der Frage davor: Spielt die Reihenfolge eine Rolle oder nicht? Dieser Ratgeber zeigt anhand alltagsnaher Beispiele, wie du das schnell erkennst — und wo Fakultät, Wiederholung und zyklische Anordnung ins Spiel kommen.

Inhalt

Der erste Test: Reihenfolge ja oder nein?
Warum hinter beidem dieselbe Fakultät steckt
Wenn sich Elemente wiederholen dürfen
Der Sonderfall: Sitzordnung am runden Tisch
Häufig gestellte Fragen

Der erste Test: Reihenfolge ja oder nein?

Kurz gesagtBei Permutation (nPr) zählt die Reihenfolge, bei Kombination (nCr) nicht. Für dieselben n und r ist nPr genau r!-mal größer als nCr.

Stell dir vor, aus 10 Bewerber:innen sollen 3 Personen für ein Projektteam ausgewählt werden. Ist am Ende nur wichtig, wer im Team ist, ohne interne Rollen — dann zählt jede Dreiergruppe genau einmal, egal in welcher Reihenfolge sie zusammengestellt wurde. Das ist eine Kombination: 10C3 = 120 mögliche Teams.

Sollen die 3 Personen dagegen konkrete Positionen bekommen — zum Beispiel Projektleitung, Stellvertretung, Dokumentation — dann ist „Anna-Bob-Clara” etwas anderes als „Bob-Anna-Clara”. Jetzt zählt die Reihenfolge, und es handelt sich um eine Permutation: 10P3 = 720 mögliche Besetzungen.

MerksatzFrage dich: „Wäre das Ergebnis anders, wenn ich dieselben Elemente nur in anderer Reihenfolge aufschreibe?” Antwort Ja → Permutation (nPr). Antwort Nein → Kombination (nCr).

Ein Klassiker aus dem Alltag: Lottozahlen sind eine Kombination (die gezogene Reihenfolge ist egal, nur die Zahlenmenge zählt), ein 4-stelliger PIN-Code dagegen eine Permutation bzw. Variation (1-2-3-4 ist ein anderer Code als 4-3-2-1).

Warum hinter beidem dieselbe Fakultät steckt

Kurz gesagtBeide Formeln bauen auf der Fakultät n! auf: nPr = n!/(n−r)!, und nCr = n!/(r!·(n−r)!) — also nPr geteilt durch die Anzahl der internen Vertauschungen r!.

Die Fakultät n! ist einfach das Produkt aller Zahlen von 1 bis n (mit 0! = 1 per Definition). Sie zählt, auf wie viele Arten sich n unterschiedliche Elemente vollständig anordnen lassen. Für eine Auswahl von nur r aus n Elementen wird diese Idee eingeschränkt: nPr teilt n! durch (n−r)!, um nur die relevanten Positionen zu zählen. nCr geht noch einen Schritt weiter und teilt zusätzlich durch r!, weil bei einer Kombination die interne Reihenfolge der gewählten r Elemente keine Rolle mehr spielt.

n, r (Beispiel)	nPr (geordnet)	nCr (ungeordnet)	Verhältnis (r!)
5 aus 5 (5, 5)	120	1	120
8 aus 3 (8, 3)	336	56	6
10 aus 3 (10, 3)	720	120	6
10 aus 4 (10, 4)	5.040	210	24

Beispielwerte zur Veranschaulichung des Zusammenhangs nPr = nCr × r! — kein realer Datensatz, nur zur Illustration der Formel.

Wichtig für sehr große n: Ab etwa 171! übersteigt das Ergebnis den Zahlenbereich, den JavaScript (und die meisten Taschenrechner) mit gewöhnlichen Gleitkommazahlen noch exakt darstellen können — es erscheint dann „Infinity”. Ein Rechner, der stattdessen mit BigInt arbeitet, liefert auch bei sehr großen Fakultäten weiterhin die exakte, vollständige Ganzzahl.

Wenn sich Elemente wiederholen dürfen

Kurz gesagtEnthält die Menge selbst Wiederholungen (wie Buchstaben in einem Wort), teilt man n! durch die Fakultäten der einzelnen Wiederholungsgruppen. Dürfen bei der Auswahl selbst Wiederholungen vorkommen, nutzt man die Formel für Kombination mit Wiederholung: C(n+r−1, r).

Ein beliebtes Lehrbuchbeispiel ist das Wort „BANANA”: 6 Buchstaben, davon 3× A, 2× N und 1× B. Ohne die Wiederholungen zu beachten, gäbe es 6! = 720 Anordnungen — aber weil vertauschte A's oder N's untereinander keine neue, sichtbar unterschiedliche Anordnung ergeben, teilt man durch 3!·2!·1! und erhält 720/12 = 60 wirklich unterschiedliche Anordnungen.

Anders gelagert ist die Frage: „Auf wie viele Arten kann ich insgesamt 5 Obststücke aus 3 Sorten wählen, wenn ich auch mehrfach dieselbe Sorte nehmen darf?” Hier zählt nicht die Anordnung, sondern nur, wie viele Stück von jeder Sorte am Ende im Korb liegen. Das ist die Kombination mit Wiederholung: C(3+5−1, 5) = C(7,5) = 21 mögliche Zusammenstellungen.

Beachte: Permutation mit Wiederholung (Wort-Anordnungen) und Kombination mit Wiederholung (Auswahl aus Typen) beantworten unterschiedliche Fragen — beide haben aber "Wiederholung" im Namen, was leicht zu Verwechslungen führt.

Der Sonderfall: Sitzordnung am runden Tisch

Kurz gesagtBei einer kreisförmigen Anordnung zählt nur die relative Reihenfolge zueinander, nicht die absolute Startposition — deshalb wird n! durch n geteilt: (n−1)! zyklische Anordnungen. Darf zusätzlich gespiegelt werden (Kette/Armband), teilt man noch einmal durch 2.

Setzt man 6 Personen linear in eine Reihe, gibt es 6! = 720 Anordnungen. Setzt man dieselben 6 Personen stattdessen an einen runden Tisch, ändert eine reine Drehung der gesamten Runde nichts an den tatsächlichen Sitznachbarn — „Anna neben Bob neben Clara...” bleibt dieselbe Sitzordnung, egal wo man „anfängt” zu zählen. Deshalb reduziert sich die Zahl der wirklich unterschiedlichen Sitzordnungen auf (6−1)! = 5! = 120.

Bei einer Kette oder einem Armband mit Perlen kommt noch eine zweite Symmetrie dazu: Man kann das Objekt umdrehen, ohne dass eine neue Anordnung entsteht. Dann teilt man zusätzlich durch 2, also (n−1)!/2 — für 6 Perlen also 120/2 = 60 unterschiedliche Ketten.

Selbst rechnen statt nur lesen nPr, nCr, Permutation/Kombination mit Wiederholung und zyklische Permutation — mit Schritt-für-Schritt-Fakultäts-Aufschlüsselung und exakten BigInt-Ergebnissen über 170! hinaus. Kombinatorik-Rechner öffnen →

Häufig gestellte Fragen

Was ist nCr, und wie berechnet man es?

Antwort: nCr (Kombination) ist die Anzahl der Möglichkeiten, r Elemente aus einer Menge von n auszuwählen, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt. Formel: C(n,r) = n! / (r!·(n−r)!). Beispiel: Ein 3-köpfiges Team aus 10 Personen (bei dem es keine Rolle spielt, wer „Vorsitzender” und wer „Mitglied” ist) lässt sich auf 10C3 = 120 verschiedene Arten bilden.

Was ist der Unterschied zwischen Permutation und Kombination?

Antwort: Bei einer Permutation (nPr) spielt die Reihenfolge der Elemente eine Rolle (eine Anordnung); bei einer Kombination (nCr) spielt die Reihenfolge keine Rolle (eine Auswahl/Gruppe). Für dieselben n und r ist nPr immer r!-mal größer als nCr: nPr = nCr × r!. Beispiel: Die geordnete Wahl von 2 aus 3 Personen (zuerst Vorsitzender, dann Stellvertreter) ergibt 3P2 = 6 Möglichkeiten, während die Wahl einer ungeordneten Gruppe von 2 Personen 3C2 = 3 Möglichkeiten ergibt.

Wie lautet die Fakultäts-Formel (n!)?

Antwort: n! (n Fakultät) ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n: n! = n×(n−1)×(n−2)×...×2×1. Per Konvention gilt 0! = 1. Beispiel: 5! = 5×4×3×2×1 = 120. Fakultäten wachsen extrem schnell — Werte über 170! überschreiten den Bereich des Standard-Zahlentyps von JavaScript, weshalb der ToolPico-Rechner ab diesem Punkt für exakte Ergebnisse auf BigInt umschaltet.

Was ist eine Permutation mit Wiederholung?

Antwort: Eine Permutation mit Wiederholung zählt die unterschiedlichen Anordnungen einer Folge, die identische Elemente enthält. Bestehen die n Elemente aus n1, n2, ..., nk Exemplaren jedes einzelnen Elements, ergibt sich die Anzahl der unterschiedlichen Anordnungen, indem n! durch n1! · n2! · ... · nk! geteilt wird. Beispiel: Das Wort „BANANA” (6 Buchstaben: 3 A, 2 N, 1 B) hat 6!/(3!·2!·1!) = 60 unterschiedliche Anordnungen.

Was ist eine zyklische (Rundtisch-)Permutation?

Antwort: Eine zyklische Permutation ist die Anzahl der Möglichkeiten, n Elemente im Kreis (an einem runden Tisch) anzuordnen. Da eine Drehung der gesamten Anordnung dieselbe Anordnung ergibt, wird die lineare Anzahl n! durch n geteilt, was (n−1)! ergibt. Beispiel: 6 Personen können auf (6−1)! = 5! = 120 verschiedene Arten an einem runden Tisch sitzen.