Was ist eine Fakultät genau?
Fakultäten tauchen praktisch überall dort auf, wo es um Anordnungen geht: Wie viele Reihenfolgen gibt es für 5 Bücher im Regal? Genau 5! = 120. Diese Grundidee — „wie viele Möglichkeiten, Dinge anzuordnen” — ist der Grund, warum die Fakultät die Basis für Permutationen und Kombinationen bildet.
Die rekursive Regel lautet n! = n × (n−1)!, mit 0! = 1 als Ausgangspunkt. Diese Definition ist kein Zufall: Sie hält die rekursive Formel auch bei n = 1 konsistent (1! = 1 × 0! = 1). Für sehr große n lässt sich außerdem mit der Stirling-Näherung abschätzen, wie groß n! ungefähr ist: n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n.
Warum reicht ein normaler Taschenrechner nicht mehr aus?
Ab diesem Punkt liefert ein gewöhnlicher Rechner keine exakte ganze Zahl mehr, sondern eine gerundete Näherung in wissenschaftlicher Schreibweise. Ab 171! kommt es sogar zu einem kompletten Überlauf (die Zahl wird als „Infinity” dargestellt), weil selbst die Näherung die maximale Größenordnung sprengt.
Ein Fakultätsrechner, der auf dem Datentyp BigInt aufbaut, umgeht dieses Problem, indem jede einzelne Multiplikation mit voller Ganzzahlgenauigkeit ausgeführt wird — es geht keine Ziffer verloren, egal wie lang die Zahl wird. Zur Einordnung, wie schnell die Ziffernanzahl wächst, hilft ein Blick auf ein paar Beispielwerte (unten gerundet auf die erste Nachkommastelle der wissenschaftlichen Schreibweise):
| n | n! (wissenschaftlich, gerundet) | Ziffern |
|---|---|---|
| 10 | 3,6×10^6 | 7 |
| 20 | 2,4×10^18 | 19 |
| 50 | 3,0×10^64 | 65 |
| 100 | 9,3×10^157 | 158 |
| 1000 | 4,0×10^2567 | 2568 |
Man sieht deutlich: Zwischen 10! und 1000! liegt kein linearer, sondern ein explosionsartiger Anstieg. Genau deshalb lohnt sich BigInt schon ab relativ kleinen n-Werten, sobald man das exakte Ergebnis statt einer Näherung braucht — etwa um zu prüfen, mit welcher Ziffer eine Fakultät endet oder wie viele Nullen sie hat.
Doppelfakultät und Subfakultät im Vergleich
Ein praktisches Beispiel für die Subfakultät: Bei einem Wichtel-/Geschenketausch mit 6 Personen, bei dem niemand sein eigenes vorheriges Los ziehen darf, gibt es genau !6 = 265 gültige Verteilungen — von insgesamt 6! = 720 möglichen Reihenfolgen. Das zeigt, wie eng verwandt, aber inhaltlich verschieden Fakultät und Subfakultät sind.
Auch nicht-ganzzahlige Werte lassen sich sinnvoll berechnen: Über die Gamma-Funktion (x! = Γ(x+1)) ist die Fakultät auf reelle Zahlen erweiterbar, zum Beispiel 0,5! ≈ 0,8862. Diese Erweiterung wird u. a. in der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet.
Wofür braucht man Fakultät im Alltag und Studium?
Ein Beispiel: Bei einem Kartenspiel mit 10 Karten, aus denen man 3 in einer bestimmten Reihenfolge zieht, gibt es nPr = 10!/(10−3)! = 720 mögliche geordnete Ziehungen. Fragt man dagegen nur danach, welche 3 Karten gezogen wurden (ohne Reihenfolge), reduziert sich das auf nCr = 10!/(3!·7!) = 120 Kombinationen. Beide Formeln bauen direkt auf der Fakultät auf — ein Grund, warum ein Fakultätsrechner oft gleich Permutation und Kombination als Zusatzfunktion mitbringt.
Auch die Anzahl der nachfolgenden Nullen einer Fakultät ist eine beliebte Fragestellung (z. B. in Mathematik-Wettbewerben): Sie ergibt sich aus der Häufigkeit des Faktors 5 im Produkt (Legendre-Formel), nicht aus bloßem Ausprobieren. 100! endet zum Beispiel auf genau 24 Nullen.
Der ToolPico Fakultätsrechner liefert exakte BigInt-Ergebnisse bis 1000!, inklusive Schritt-für-Schritt-Erweiterung, Ziffernanzahl und Gamma-Funktion.
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