Kombinationen und Permutationen sind die beiden grundlegenden Konzepte der Kombinatorik, die zählen, auf wie viele verschiedene Arten sich eine bestimmte Anzahl von Elementen aus einer Menge auswählen lässt. Der einzige Unterschied zwischen ihnen ist, ob die Reihenfolge der ausgewählten Elemente eine Rolle spielt. Dieser Rechner berechnet beide Werte gleichzeitig, zeigt die Fakultäts-Entwicklung Schritt für Schritt und liefert — selbst für astronomisch große Zahlen jenseits von 170! — mit BigInt ein exaktes Ergebnis.
Was ist eine Permutation (nPr)?
KurzantwortEine Permutation (nPr) ist die Anzahl der Möglichkeiten, r Elemente aus einer Menge von n auszuwählen und anzuordnen, wobei die Reihenfolge eine Rolle spielt. Formel: nPr = n! / (n−r)!. Beispiel: Auf wie viele Arten können die ersten 3 Plätze (Gold-Silber-Bronze) unter 5 Läufern vergeben werden? Das ist eine Permutation: 5P3 = 60.
Was ist eine Kombination (nCr), und wie berechnet man sie?
KurzantwortEine Kombination (nCr) ist die Anzahl der Möglichkeiten, r Elemente aus einer Menge von n auszuwählen, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt. Formel: nCr = n! / (r! × (n−r)!). Beispiel: Wie viele verschiedene 3-köpfige Projektteams lassen sich aus 10 Personen bilden, wenn keine Rolle unterschieden wird? Die Antwort ist 10C3 = 120.
Was ist der Unterschied zwischen einer Permutation und einer Kombination?
KurzantwortDer Unterschied lässt sich auf ein Wort reduzieren: Reihenfolge. Bei einer Permutation spielt die Anordnung/Reihenfolge eine Rolle (unterschiedliche Rollen wie Vorsitzender-Stellvertreter-Schriftführer); bei einer Kombination zählt nur die Gruppe/Auswahl (ein Komitee, bei dem keine Rolle unterschieden wird). Für dieselben n und r ist nPr immer r!-mal größer als nCr: nPr = nCr × r!. Beispiel: Ein geordnetes 3-köpfiges Führungsteam (Vorsitzender/Stellvertreter/Schriftführer), gewählt aus 10 Personen, lässt sich auf 10P3 = 720 Arten bilden, während ein ungeordnetes 3-köpfiges Komitee aus denselben 10 Personen auf 10C3 = 120 Arten gebildet werden kann — ein Faktor von 720/120 = 6 = 3!.
Wie lautet die Fakultäts-Formel (n!)?
Kurzantwortn! (n Fakultät) ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n: n! = n×(n−1)×...×2×1, wobei 0! per Definition 1 ist. Sowohl die nPr- als auch die nCr-Formel bauen auf Fakultäten auf. Fakultäten wachsen erstaunlich schnell: 10! = 3.628.800, während 20! bereits 19 Stellen hat.
Was ist eine Permutation mit Wiederholung?
KurzantwortEine Permutation mit Wiederholung ermittelt die Anzahl der unterschiedlichen Anordnungen einer Folge, die identische (wiederholte) Elemente enthält. Bestehen die n Elemente aus n₁, n₂, ..., nₖ Exemplaren jedes einzelnen Elements, ist die Anzahl der unterschiedlichen Anordnungen n! / (n₁!·n₂!·...·nₖ!). Beispiel: Das Wort „BANANA“ (6 Buchstaben: 3 A, 2 N, 1 B) hat 6!/(3!·2!·1!) = 60 unterschiedliche Anordnungen — probiere dein eigenes Wort im Reiter „Perm. (Wdh.)“ aus.
Was ist Kombination mit Wiederholung?
KurzantwortKombination mit Wiederholung ist die Anzahl der Möglichkeiten, r Elemente aus n Typen auszuwählen, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt und Wiederholungen erlaubt sind: C(n+r−1, r). Beispiel: Die Wahl von insgesamt 5 Obststücken aus 3 Sorten (Apfel, Birne, Banane), wobei man mehr als ein Stück derselben Sorte nehmen darf, ergibt C(3+5−1,5) = C(7,5) = 21 verschiedene Auswahlmöglichkeiten.
Was ist eine zyklische (Rundtisch-)Permutation?
KurzantwortEine zyklische Permutation ist die Anzahl der Möglichkeiten, n Elemente im Kreis (an einem runden Tisch) anzuordnen. Da eine Drehung der gesamten Anordnung dieselbe Anordnung ergibt, wird die lineare Anzahl n! durch n geteilt, was (n−1)! ergibt. Beispiel: 6 Personen können auf (6−1)! = 5! = 120 verschiedene Arten an einem runden Tisch sitzen. Für Anordnungen, die zusätzlich gespiegelt werden können — wie eine Kette oder ein Armband, bei denen Spiegelbilder als identisch gelten —, wird zusätzlich durch 2 geteilt: (n−1)!/2; eine Kette mit 6 Perlen lässt sich zum Beispiel auf 5!/2 = 60 Arten anordnen. Probiere dein eigenes n im Reiter „Zyklisch“ aus.
Welche Formel verwenden Fragen nach „wie viele verschiedene Möglichkeiten“?
KurzantwortFragen der Form „auf wie viele verschiedene Arten kann X ausgewählt/gebildet werden“ sind meist Kombinations- (nCr-)Fragen, da die Reihenfolge in der Regel keine Rolle spielt; „auf wie viele verschiedene Arten kann X angeordnet/geordnet werden“ deutet auf eine Permutation (nPr) hin. Bist du unsicher, frage dich: Zählen zwei Auswahlen mit denselben Elementen, aber in unterschiedlicher Reihenfolge, als „verschieden“? Wenn ja, verwende nPr; wenn nein, verwende nCr.
Ein klassisches Beispiel: Auf wie viele Arten lässt sich ein 3-köpfiges Team aus 10 Personen bilden? Gibt es keine unterschiedlichen Rollen (alle sind gleichberechtigte Mitglieder), ist das eine Kombinationsfrage: 10C3 = 120. Hat das Team jedoch einen Kapitän, einen Vize-Kapitän und einen festgelegten Torwart (unterschiedliche Rollen), ist es eine Permutationsfrage: 10P3 = 720. Gib oben im Rechner n=10, r=3 ein, um beide Ergebnisse gleichzeitig mit der Schritt-für-Schritt-Aufschlüsselung zu sehen.