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Calculateur de combinaison & permutation

Saisissez n et r pour calculer la permutation (nPr, ordonnée) et la combinaison (nCr, non ordonnée) avec une décomposition factorielle étape par étape. Comprend la permutation avec répétition, la combinaison avec répétition, la permutation circulaire, et des résultats exacts BigInt même au-delà de 170!.

5! = 120 10P3 = 720 10C3 = 120 170!+ → BigInt exact Mis à jour : 25 juil. 2026
#
Nombre total d'éléments dans l'ensemble. Les très grands nombres sont pris en charge.
#
Doit satisfaire 0 ≤ r ≤ n.
Aa
Saisissez un mot (les lettres répétées sont comptées automatiquement, ex. BANANA) ou saisissez des nombres de groupes séparés par des virgules (ex. 3,2,1).
#
Ex. variétés de fruits, couleurs de balles.
#
Plus d'un du même type peut être choisi.
#
Nombre d'éléments assis à une table ronde, ou disposés en cercle/collier. Table ronde = (n−1)!, collier/bracelet = (n−1)!/2.
#
Affiche nPr et nCr côte à côte pour r = 0 à n (jusqu'à 12 lignes) — voyez la relation nPr = nCr × r!.
Séparez les éléments par une virgule ou un retour à la ligne. Les doublons sont conservés tels quels ; les cases vides sont ignorées.
#
Doit satisfaire 0 ≤ r ≤ nombre d'éléments saisis.
⚙️ Paramètres avancés — étape par étape, affichage des grands nombres
Solution étape par étapeAfficher le développement factoriel
Tronquer les grands nombresRaccourcir les résultats de plus de 40 chiffres et proposer une copie complète
Lister arrangements & sélectionsAfficher les combinaisons et permutations réelles en mode nPr/nCr (≤2 000)
Réponse rapide Une permutation (nPr) compte les arrangements où l'ordre compte : nPr = n!/(n−r)!. Une combinaison (nCr) compte les sélections où l'ordre n'a pas d'importance : nCr = n!/(r!(n−r)!). Par exemple, choisir une équipe dirigeante ordonnée de 3 personnes parmi 10 donne 10P3 = 720 façons, tandis qu'un comité non ordonné de 3 personnes parmi les mêmes 10 personnes donne 10C3 = 120 façons.
1205! (factorielle de 5)
72010P3 (permutation)
12010C3 (combinaison)
…chiffres dans 170!
⚙️ Remarque sur la précision : tous les résultats sont calculés avec BigInt, qui n'effectue aucun arrondi décimal — donc même les valeurs au-delà de 170! (qui affichent « Infinity » sur la plupart des calculatrices) sont calculées exactement, chiffre par chiffre. Pour la performance, le nombre total d'éléments (n) est limité à 5 000 ; dans les permutations avec répétition, le nombre total de lettres/éléments est soumis à la même limite. Tous les calculs s'exécutent dans votre navigateur — aucune donnée n'est jamais envoyée à un serveur.
🔢 Calculateur de combinaison & permutation — ToolPico ↗

Que sont les combinaisons et les permutations, et comment les calculer ?

Un guide complet sur les formules nCr et nPr — leur différence, leur relation avec les factorielles, et leurs versions avec répétition — avec des exemples concrets.

Les combinaisons et permutations sont les deux concepts fondamentaux de combinatoire qui comptent de combien de façons différentes vous pouvez sélectionner un certain nombre d'éléments dans un ensemble. La seule différence entre elles est de savoir si l'ordre des éléments sélectionnés compte. Ce calculateur calcule les deux valeurs à la fois, montre le développement factoriel étape par étape, et — même pour des nombres astronomiquement grands au-delà de 170! — renvoie un résultat exact grâce à BigInt.

Qu'est-ce qu'une permutation (nPr) ?

Réponse rapideUne permutation (nPr) est le nombre de façons de choisir et d'arranger r éléments parmi un ensemble de n, où l'ordre compte. Formule : nPr = n! / (n−r)!. Par exemple, de combien de façons peut-on classer les 3 premiers (or-argent-bronze) parmi 5 coureurs ? C'est une permutation : 5P3 = 60.

Qu'est-ce qu'une combinaison (nCr), et comment la calcule-t-on ?

Réponse rapideUne combinaison (nCr) est le nombre de façons de choisir r éléments parmi un ensemble de n, où l'ordre n'a pas d'importance. Formule : nCr = n! / (r! × (n−r)!). Par exemple, combien d'équipes de projet différentes de 3 personnes peuvent être formées parmi 10 personnes (si aucun rôle ne compte) ? La réponse est 10C3 = 120.

Quelle est la différence entre une permutation et une combinaison ?

Réponse rapideLa différence se résume à un mot : l'ordre. Dans une permutation, l'arrangement/l'ordre compte (rôles distincts comme président-vice-président-secrétaire) ; dans une combinaison, seul le groupe/la sélection compte (un comité où aucun rôle n'est distingué). Pour les mêmes n et r, nPr est toujours r! fois plus grand que nCr : nPr = nCr × r!. Exemple : une équipe dirigeante ordonnée de 3 personnes (président/vice-président/secrétaire) choisie parmi 10 personnes peut être formée de 10P3 = 720 façons, tandis qu'un comité non ordonné de 3 personnes parmi les mêmes 10 personnes peut être formé de 10C3 = 120 façons — un facteur de 720/120 = 6 = 3!.

Quelle est la formule de la factorielle (n!) ?

Réponse rapiden! (factorielle de n) est le produit de tous les entiers positifs de 1 à n : n! = n×(n−1)×...×2×1, avec 0! défini comme 1. Les formules nPr et nCr reposent toutes deux sur les factorielles. Les factorielles croissent étonnamment vite : 10! = 3 628 800, tandis que 20! a déjà 19 chiffres.

Qu'est-ce qu'une permutation avec répétition ?

Réponse rapideUne permutation avec répétition trouve le nombre d'ordres distincts d'une séquence contenant des éléments identiques (répétés). Si n éléments consistent en n₁, n₂, ..., nₖ copies de chaque élément distinct, le nombre d'arrangements distincts est n! / (n₁!·n₂!·...·nₖ!). Exemple : le mot « BANANA » (6 lettres : 3 A, 2 N, 1 B) a 6!/(3!·2!·1!) = 60 arrangements distincts — essayez votre propre mot dans l'onglet « Perm. répétée ».

Qu'est-ce que la combinaison avec répétition ?

Réponse rapideLa combinaison avec répétition est le nombre de façons de choisir r éléments parmi n types, où l'ordre n'a pas d'importance et les répétitions sont autorisées : C(n+r−1, r). Exemple : choisir 5 fruits au total parmi 3 types (pomme, poire, banane), où vous pouvez prendre plus d'un du même fruit, donne C(3+5−1,5) = C(7,5) = 21 sélections différentes.

Qu'est-ce qu'une permutation circulaire (table ronde) ?

Réponse rapideUne permutation circulaire est le nombre de façons dont n éléments peuvent être disposés autour d'un cercle (une table ronde). Comme faire pivoter tout l'arrangement produit la même disposition, le compte linéaire n! est divisé par n, donnant (n−1)!. Exemple : 6 personnes peuvent être assises autour d'une table ronde de (6−1)! = 5! = 120 façons différentes. Pour les arrangements qui peuvent aussi être reflétés — comme un collier ou un bracelet, où les images miroir comptent comme identiques — divisez aussi par 2 : (n−1)!/2 ; par exemple, un collier de 6 perles peut être arrangé de 5!/2 = 60 façons. Essayez votre propre n dans l'onglet « Circulaire ».

Quelle formule utilisent les questions « combien de façons différentes » ?

Réponse rapideLes questions formulées comme « de combien de façons différentes X peut-il être sélectionné/formé » sont généralement des questions de combinaison (nCr), puisque l'ordre est généralement sans importance ; « de combien de façons différentes X peut-il être arrangé/ordonné » signale une permutation (nPr). En cas de doute, demandez-vous : si deux sélections contiennent les mêmes éléments mais dans un ordre différent, comptent-elles comme « différentes » ? Si oui, utilisez nPr ; sinon, utilisez nCr.

Prenons un exemple classique : de combien de façons une équipe de 3 personnes peut-elle être formée parmi 10 personnes ? S'il n'y a pas de rôles distincts (tout le monde est un membre égal), c'est une combinaison : 10C3 = 120. Mais si l'équipe a un capitaine, un vice-capitaine, et un gardien désigné (rôles distincts), c'est une permutation : 10P3 = 720. Saisissez n=10, r=3 dans le calculateur ci-dessus pour voir les deux résultats à la fois, avec la décomposition étape par étape.

Valeurs nPr / nCr populaires

Accès rapide aux combinaisons n et r les plus recherchées — cliquez sur l'une d'elles pour remplir automatiquement le calculateur.

Mini-calculateurs associés

Les trois usages quotidiens les plus courants de la combinatoire : possibilités de mot de passe, probabilités de loterie, et triangle de Pascal. Tous fonctionnent instantanément.

🔐Combinaisons de mot de passe / PIN
Combien de séquences distinctes de longueur r peuvent être formées à partir d'un alphabet de n symboles, avec répétitions autorisées ?
🎟️Probabilités de loterie / tombola
Dans une loterie/tombola où r numéros sont tirés parmi n, quelles sont les chances que votre ensemble non ordonné de r numéros corresponde ?
🔺Ligne du triangle de Pascal
Liste toutes les valeurs C(n,k) (k=0..n) d'une ligne donnée du triangle de Pascal à la fois.

Tableaux de référence de combinatoire

Tableaux prêts à citer : paires nPr/nCr courantes, un tableau de factorielles, le triangle de Pascal, et une comparaison des formules.

Valeurs nPr et nCr pour les paires n, r les plus recherchées
n, rnPrnCr
4, 2126
5, 22010
5, 36010
6, 23015
6, 312020
7, 321035
8, 333656
9, 350484
10, 3720120
10, 45 040210
12, 595 040792
20, 51 860 48015 504

Valeurs vérifiées avec le moteur de calcul BigInt de cet outil.

Tableau des factorielles, de 0! à 15!
nn!
0!1
1!1
2!2
3!6
4!24
5!120
6!720
7!5 040
8!40 320
9!362 880
10!3 628 800
11!39 916 800
12!479 001 600
13!6 227 020 800
14!87 178 291 200
15!1 307 674 368 000

Pour des factorielles plus grandes, augmentez n dans l'onglet « nPr / nCr » ci-dessus — BigInt calcule des résultats exacts sans limite supérieure pratique (n ≤ 5 000).

Triangle de Pascal — lignes 0 à 10 (chaque valeur est un C(n,k))
Ligne (n)Valeurs C(n,0..n)
01
11, 1
21, 2, 1
31, 3, 3, 1
41, 4, 6, 4, 1
51, 5, 10, 10, 5, 1
61, 6, 15, 20, 15, 6, 1
71, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
81, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1
91, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1
101, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1

La k-ième valeur de la ligne n est égale à C(n,k). Utilisez le mini-outil « Ligne du triangle de Pascal » ci-dessus pour générer des lignes jusqu'à 100.

Comparaison des formules nPr et nCr
ConceptFormuleL'ordre compte-t-il ?
Permutation (nPr)n! / (n−r)!Oui
Combinaison (nCr)n! / (r!(n−r)!)Non
Permutation avec répétitionn! / (n₁!n₂!...nₖ!)Oui (sauf au sein des groupes)
Combinaison avec répétitionC(n+r−1, r)Non
Circulaire (table ronde)(n−1)!Oui (sauf rotation)
Collier / bracelet(n−1)!/2Oui (sauf rotation+réflexion)
Arrangement avec répétition (n^r)nʳOui

Relation : nPr = nCr × r!. nCr vaut toujours 1 quand r=0 ou r=n.

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Intégrez gratuitement le calculateur de combinaison & permutation sur votre propre site. Copiez le code ci-dessous dans votre HTML — l'outil s'affiche dans une vue simplifiée et renvoie vers cette page comme source.

L'outil intégré a une mise en page fixe ; vous pouvez ajuster la valeur de height selon votre site. Pas de publicité ni de données personnelles, fonctionne entièrement côté client.

Glossaire des termes de combinatoire

Définitions courtes des termes essentiels utilisés dans les calculs nCr/nPr.

Permutation (nPr)Le nombre de façons de choisir et d'arranger r éléments parmi un ensemble de n, où l'ordre compte.
Combinaison (nCr)Le nombre de façons de choisir r éléments parmi un ensemble de n, où l'ordre n'a pas d'importance.
Factorielle (n!)Le produit de tous les entiers positifs de 1 à n. 0! = 1.
Permutation avec répétitionLe nombre d'ordres distincts d'une séquence contenant des éléments identiques : n!/(n₁!n₂!...).
Combinaison avec répétitionLe nombre de sélections non ordonnées faites avec répétitions autorisées : C(n+r−1, r).
Permutation circulaireArrangement autour d'un cercle (table ronde) ; les rotations comptent comme identiques : (n−1)!. Pour un collier/bracelet, les réflexions comptent aussi comme identiques : (n−1)!/2.
BigIntUn type de données JavaScript qui stocke exactement des entiers arbitrairement grands, sans arrondi.
Triangle de PascalUn tableau triangulaire dont la n-ième ligne liste chaque combinaison C(n,0) à C(n,n).
Espace échantillonL'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience ; forme le dénominateur dans les calculs de probabilité.
Sélection ordonnéeUne sélection où l'ordre des éléments choisis change le résultat (permutation).
Sélection non ordonnéeUne sélection où seul le groupe d'éléments choisis compte, pas leur ordre (combinaison).

Guides détaillés

Réponses détaillées aux questions les plus fréquentes sur les combinaisons/permutations.

De combien de façons une équipe de 3 personnes peut-elle être formée parmi 10 personnes ?

S'il n'y a pas de distinction de rôle parmi les 3 membres de l'équipe (tout le monde est un membre égal), c'est une question de combinaison : 10C3 = 120. Mais si l'équipe a un capitaine, un vice-capitaine, et un remplaçant (rôles distincts), c'est une question de permutation : 10P3 = 720. La différence est exactement 3! = 6 fois, car le même groupe de 3 personnes peut être réparti en rôles de 6 façons différentes.

Saisissez n=10, r=3 dans le calculateur ci-dessus et affichez les deux résultats à la fois dans l'onglet « nPr / nCr », avec la décomposition étape par étape.

De combien de façons les lettres de « BANANA » peuvent-elles être arrangées ?

BANANA a 6 lettres, mais elles ne sont pas toutes différentes : 3 A, 2 N, et 1 B. Si chaque lettre était distincte, il y aurait 6! = 720 arrangements — mais comme des lettres identiques qui échangent leur place produisent le même mot visuellement, ce surcomptage est corrigé en divisant par les factorielles des groupes répétés : 6! / (3!·2!·1!) = 720 / 12 = 60.

C'est ce qu'on appelle une « permutation avec répétition », utilisée dans les jeux de mots, l'analyse d'anagrammes, l'entropie des mots de passe, et plus encore. Essayez de saisir n'importe quel mot dans l'onglet « Perm. répétée ».

Quelles sont les chances de faire correspondre les 6 numéros d'une loterie 6/49 ?

Choisir 6 numéros non ordonnés parmi 49 donne un total de 49C6 = 13 983 816 combinaisons possibles. Comme vos 6 numéros choisis ne sont qu'une seule de ces combinaisons, les chances de tous les faire correspondre sont de 1 sur 13 983 816 (environ 0,0000072%).

C'est un calcul de combinaison car l'ordre dans lequel les numéros sont tirés n'a pas d'importance — quel que soit l'ordre de sortie, les mêmes 6 numéros donnent le même résultat. Essayez différentes valeurs n/r avec le mini-outil « Probabilités de loterie / tombola » ci-dessus.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que nCr et comment le calcule-t-on ?
nCr (combinaison) est le nombre de façons de choisir r éléments parmi un ensemble de n, où l'ordre n'a pas d'importance. Formule : C(n,r) = n! / (r!·(n−r)!). Par exemple, une équipe de 3 personnes parmi 10 (où peu importe qui est « président » ou « membre ») peut être formée de 10C3 = 120 façons différentes.
Quelle est la différence entre permutation et combinaison ?
Dans une permutation (nPr), l'ordre des éléments compte (un arrangement) ; dans une combinaison (nCr), l'ordre n'a pas d'importance (une sélection/groupe). Pour les mêmes n et r, nPr est toujours r! fois plus grand que nCr : nPr = nCr × r!. Exemple : choisir 2 personnes parmi 3 dans un ordre (président, puis vice-président) donne 3P2 = 6 façons, tandis que choisir un groupe non ordonné de 2 donne 3C2 = 3 façons.
Quelle est la formule de la factorielle (n!) ?
n! (factorielle de n) est le produit de tous les entiers positifs de 1 à n : n! = n×(n−1)×(n−2)×...×2×1. Par convention, 0! = 1. Exemple : 5! = 5×4×3×2×1 = 120. Les factorielles croissent extrêmement vite — les valeurs au-delà de 170! dépassent la plage du type Number standard de JavaScript, donc cet outil bascule vers BigInt à ce moment-là pour des résultats exacts.
Qu'est-ce qu'une permutation avec répétition ?
Une permutation avec répétition compte les ordres distincts d'une séquence contenant des éléments identiques. Si n éléments consistent en n1, n2, ..., nk copies de chaque élément distinct, le nombre d'arrangements distincts est n! divisé par n1! · n2! · ... · nk!. Exemple : le mot « BANANA » (6 lettres : 3 A, 2 N, 1 B) a 6!/(3!·2!·1!) = 60 arrangements distincts.
Combien de façons différentes quelque chose peut-il être sélectionné ? (nCr en pratique)
Les questions du type « de combien de façons différentes X peut-il être sélectionné/formé » sont généralement des questions de combinaison (nCr), puisque l'ordre n'a généralement pas d'importance. Le nombre de façons de choisir r éléments parmi n est C(n,r) = n!/(r!(n−r)!). Par exemple, le nombre de façons de former un comité de 3 personnes parmi 10 personnes est 10C3 = 120.
Quelle est la formule de combinaison ?
La formule de combinaison est C(n,r) = n! / (r! × (n−r)!), et elle donne le nombre de façons non ordonnées de choisir r éléments parmi un ensemble de n. La formule exige 0 ≤ r ≤ n ; quand r=0 ou r=n, le résultat est toujours 1.
Qu'est-ce que la combinaison avec répétition, et comment la calcule-t-on ?
La combinaison avec répétition est le nombre de façons non ordonnées de choisir r éléments parmi n types, en autorisant les répétitions. Formule : C(n+r−1, r). Exemple : choisir 5 fruits au total parmi 3 types (pomme, poire, banane), où plus d'un du même type est autorisé, donne C(3+5−1,5) = C(7,5) = 21 sélections différentes.
Pourquoi les factorielles au-delà de 170 affichent-elles « Infinity » sur une calculatrice normale ?
JavaScript et la plupart des calculatrices utilisent des nombres à virgule flottante (double précision), dont la limite supérieure est d'environ 1,79×10³⁰⁸. 171! dépasse cette limite, donc le résultat s'affiche comme « Infinity ». Cet outil utilise le type de données BigInt, qui conserve une précision entière complète, pour calculer exactement même des factorielles de plusieurs milliers de chiffres.
Qu'est-ce qu'une permutation circulaire (table ronde), et comment la calcule-t-on ?
Une permutation circulaire est le nombre de façons dont n éléments peuvent être disposés autour d'un cercle (une table ronde). Comme faire pivoter tout l'arrangement produit la même disposition, le compte linéaire n! est divisé par n, donnant (n−1)!. Exemple : 6 personnes peuvent être assises autour d'une table ronde de (6−1)! = 5! = 120 façons différentes. Pour les arrangements qui peuvent aussi être retournés — comme un collier ou un bracelet, où les images miroir comptent comme identiques — divisez aussi par 2 : (n−1)!/2. Exemple : un collier de 6 perles a 5!/2 = 60 arrangements distincts.
Puis-je voir la liste réelle des combinaisons et permutations ?
Oui. Dans l'onglet « nPr / nCr », après avoir saisi n et r, la carte de résultat affiche des listes déroulantes de les sélections de combinaison C(n,r) réelles ({A,B}, {A,C}…) et des arrangements de permutation P(n,r) ((A,B), (B,A)…). Les éléments sont automatiquement étiquetés A, B, C… (ou 1, 2, 3… si n>26). Pour la performance du navigateur, chaque liste est limitée à 2 000 lignes ; les résultats plus grands n'affichent que le total.

Méthodologie & sources

Le calculateur de combinaison & permutation de ToolPico est un outil gratuit et indépendant. Tous les calculs suivent les définitions classiques de combinatoire et sont calculés avec le type de données BigInt de JavaScript : aucun arrondi décimal ne se produit, donc même les valeurs au-delà de 170! sont calculées exactement, chiffre par chiffre.

Formules : nPr = n!/(n−r)! · nCr = n!/(r!(n−r)!) · Permutation avec répétition = n!/(n₁!n₂!...) · Combinaison avec répétition = C(n+r−1,r) · Permutation circulaire = (n−1)! · Collier/bracelet = (n−1)!/2. Base : combinatoire standard (mathématiques discrètes). Dernière mise à jour : 25 juillet 2026. Tous les calculs s'exécutent dans votre navigateur ; aucune donnée n'est envoyée à un serveur. Les résultats sont fournis à titre informatif et éducatif uniquement.
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