Équations quadratiques appliquées : optimiser une aire ou une trajectoire

« Trouvez les dimensions qui donnent l'aire maximale » ou « à quelle hauteur maximale monte le ballon » : ces énoncés ne ressemblent pas à ax²+bx+c=0, et pourtant c'est exactement ce qu'ils cachent. Voici comment repérer la quadratique dans un problème concret, en tirer le sommet plutôt que les racines, et vérifier le résultat en combinant deux outils.

Repérer la quadratique cachée dans un énoncé

Réponse rapideLe signal à chercher est un produit de deux grandeurs dépendant de la même variable — une longueur et une largeur, ou une distance et une durée. Dès que la mise en équation fait apparaître un terme en x multiplié par lui-même, l'énoncé se ramène à ax²+bx+c, même si le mot « quadratique » n'apparaît jamais dans le texte.

Deux familles de problèmes reviennent très souvent en pratique : les problèmes d'aire sous contrainte de périmètre (un jardin, un enclos, une pièce à agencer avec une longueur de clôture ou de plinthe fixée), et les problèmes de trajectoire (un objet lancé, dont la hauteur dépend du temps selon une loi de chute classique). Dans les deux cas, la démarche est la même : écrire la grandeur à optimiser en fonction d'une seule variable x, réduire l'expression sous forme ax²+bx+c, puis utiliser soit les racines, soit le sommet, selon la question posée.

Repère utile — si la question demande « quelle est la valeur la plus grande/petite possible », c'est presque toujours le sommet de la parabole qu'il faut calculer. Si la question demande « pour quelle valeur de x le résultat vaut-il exactement zéro (ou une valeur cible) », ce sont les racines qu'il faut chercher.

Exemple : l'aire maximale d'un enclos rectangulaire

Réponse rapideAvec un périmètre fixé, l'aire d'un rectangle s'écrit comme une fonction quadratique d'un seul côté x ; son maximum est atteint exactement au sommet de la parabole, et non en essayant des valeurs au hasard.

Prenons un exemple hypothétique : on dispose de 40 mètres de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire adossé à un mur (donc un seul rectangle, trois côtés à clôturer). Si x est la largeur perpendiculaire au mur, la longueur restante pour les deux largeurs et une longueur donne une longueur de (40−2x). L'aire s'écrit alors :

Étape	Expression	Résultat
Aire en fonction de x	A(x) = x·(40−2x)	—
Forme développée	A(x) = −2x²+40x	a=−2, b=40, c=0
Abscisse du sommet	x₀=−b/2a=−40/(2×−2)	x₀=10
Aire maximale (ordonnée du sommet)	y₀=c−b²/4a=0−1600/(−8)	y₀=200 m²

La largeur optimale est donc x=10 m, ce qui donne une longueur de 40−2×10=20 m, et une aire maximale de 200 m². Remarquez que a=−2 est négatif : c'est cohérent, puisqu'une aire sous contrainte de périmètre a nécessairement un maximum (et non un minimum) — la parabole s'ouvre vers le bas.

À retenir — ici, les racines de A(x)=0 (x=0 et x=20) ne sont pas la réponse à la question posée : elles marquent seulement les bornes où l'aire s'annule (un rectangle de largeur nulle ou de longueur nulle). C'est le sommet, entre ces deux racines, qui donne la vraie réponse.

Exemple : la hauteur maximale d'un projectile

Réponse rapideUne hauteur qui dépend du temps selon une loi de chute classique est elle aussi une fonction quadratique : les racines donnent les instants où l'objet touche le sol, et le sommet donne l'instant et la valeur de la hauteur maximale.

Exemple hypothétique : un modèle simplifié donne la hauteur h (en mètres) d'un ballon lancé, en fonction du temps t (en secondes), sous la forme h(t) = −5t² + 20t + 1 (le « +1 » représentant une hauteur de lancer légèrement au-dessus du sol). Ici a=−5, b=20, c=1.

Le sommet se calcule avec les mêmes formules que dans l'exemple précédent : t₀=−b/2a=−20/(−10)=2 secondes, et la hauteur maximale h(t₀)=c−b²/4a=1−400/(−20)=1+20=21 mètres. Pour savoir à quel instant le ballon retombe au sol, il faut cette fois résoudre h(t)=0, c'est-à-dire calculer les racines de −5t²+20t+1=0 avec le discriminant et la formule quadratique habituelle — et ne garder que la racine positive, la seule qui a un sens physique dans ce contexte.

Vérifier le résultat en combinant deux outils

Réponse rapideUne fois les dimensions optimales trouvées via le sommet de la parabole, on peut les recalculer indépendamment dans un calculateur d'aire et de périmètre dédié : si les deux méthodes donnent la même aire, c'est un bon indice que le calcul est correct.

Pour reprendre l'exemple de l'enclos : le résolveur d'équation quadratique donne un sommet à x₀=10 (largeur) avec une aire maximale de 200 m². On peut ensuite saisir directement la largeur (10 m) et la longueur déduite (20 m) dans un calculateur d'aire et de périmètre séparé, qui recalcule l'aire du rectangle par une formule directe (longueur × largeur) sans passer par la mise en équation. Si les deux résultats concordent — ce qui devrait être le cas ici — cela confirme que la mise en équation initiale (A(x)=x·(40−2x)) était correcte, et pas seulement que le calcul du sommet a été bien mené.

Ce type de double vérification par deux méthodes indépendantes est particulièrement utile pour un problème de conception ou de bricolage réel — par exemple avant de commander un métrage de clôture ou de matériau — où une erreur de mise en équation coûterait plus qu'une simple mauvaise note.

Envie de retrouver le sommet, les racines et le graphique de votre propre fonction quadratique, avant de vérifier vos dimensions avec un second calcul ?

Essayer le résolveur d'équation quadratique →

Questions fréquentes

Comment reconnaître qu'un problème d'énoncé se ramène à une équation quadratique ?

Le signal le plus fiable est la présence d'un produit de deux grandeurs qui dépendent toutes les deux de la même variable — une longueur et une largeur exprimées avec le même x, ou une vitesse et un temps qui se multiplient dans une formule de distance. Dès qu'une mise en équation fait apparaître un terme en x multiplié par lui-même, c'est une équation quadratique, même si l'énoncé ne le dit jamais explicitement.

Pourquoi le sommet de la parabole est-il la partie la plus utile dans un problème concret ?

Parce que la plupart des problèmes appliqués ne demandent pas les racines, mais un maximum ou un minimum : l'aire la plus grande possible, la hauteur maximale atteinte, ou le coût le plus bas. Le sommet donne directement cette valeur optimale et la position (x₀) où elle est atteinte, sans avoir besoin de résoudre l'équation égale à zéro.

À quoi servent les racines si la question porte sur un maximum ?

Les racines restent utiles pour délimiter le domaine physiquement valable du problème : dans un problème de trajectoire, les deux racines correspondent souvent au moment du lancer et au moment où le projectile retombe au sol, ce qui encadre l'intervalle de temps dans lequel le sommet a un sens.

Comment vérifier qu'un résultat d'aire maximale est cohérent une fois calculé ?

Une bonne pratique consiste à reprendre les dimensions trouvées au sommet et à les recalculer indépendamment dans un calculateur d'aire et de périmètre : si l'aire obtenue par ce calcul direct correspond bien à l'ordonnée du sommet trouvée par l'équation quadratique, les deux méthodes se confirment mutuellement.

Un problème d'optimisation peut-il avoir un discriminant négatif ?

Le sommet lui-même existe toujours, quel que soit le signe du discriminant, puisque sa formule (−b/2a, c−b²/4a) ne dépend pas de la racine carrée de Δ. En revanche, un discriminant négatif dans un problème d'aire ou de trajectoire signifie généralement que la contrainte posée (une aire cible, une hauteur cible) n'est atteignable par aucune valeur réelle de x — un signal qu'il faut relire l'énoncé plutôt qu'un résultat à interpréter tel quel.

Guides liés

Note méthodologique — les exemples chiffrés de cet article (clôture, projectile) sont hypothétiques et fournis à titre pédagogique pour illustrer la méthode de mise en équation ; ils ne correspondent à aucune mesure réelle et ne remplacent pas un calcul d'ingénierie ou de physique rigoureux. Vérifiez toujours vos propres valeurs avec le résolveur ou une autre source avant une application concrète.