Le discriminant, la première étape à ne jamais sauter
C'est l'erreur la plus fréquente en cours de maths : se jeter directement sur la formule quadratique sans avoir identifié proprement a, b et c, surtout quand l'équation n'est pas déjà rangée dans l'ordre (par exemple x²=5x−6 plutôt que x²−5x+6=0). Une fois l'équation bien mise en forme, le discriminant classe immédiatement la situation :
- Δ>0 : deux racines réelles distinctes.
- Δ=0 : une seule racine réelle (dite « double »).
- Δ<0 : pas de racine réelle, mais deux racines complexes conjuguées.
Appliquer la formule quadratique sur un exemple concret
Voici le détail du calcul, étape par étape, pour cet exemple :
| Étape | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| Coefficients | a=2, b=3, c=−2 | — |
| Discriminant | Δ=b²−4ac=9−(−16) | Δ=25 |
| Racine carrée | √Δ=√25 | 5 |
| Racine x1 | (−3+5)/(2×2) | 0,5 |
| Racine x2 | (−3−5)/(2×2) | −2 |
On peut vérifier ce résultat sans refaire tout le calcul, grâce aux formules de Vieta : la somme des racines doit valoir −b/a soit −3/2=−1,5, et effectivement 0,5+(−2)=−1,5 ✓. Le produit doit valoir c/a soit −1, et 0,5×(−2)=−1 ✓. C'est un excellent réflexe de contrôle avant de rendre un devoir.
Que faire si le discriminant est négatif ?
Prenons par exemple x²+2x+5=0 : ici a=1, b=2, c=5, donc Δ=4−20=−16, qui est négatif. On calcule alors p=−2/2=−1 et q=√16/2=2, ce qui donne les deux racines x=−1+2i et x=−1−2i.
Trouver le sommet de la parabole
Pour reprendre notre premier exemple (a=2, b=3, c=−2) : h=−3/4=−0,75 et k=−2−9/8=−3,125. Le sommet est donc le point (−0,75 ; −3,125), et comme a=2>0, il s'agit du minimum de la parabole. Cette information est particulièrement utile dans des problèmes de terrain concret, par exemple pour trouver le maximum de recette d'un produit en fonction de son prix, ou la hauteur maximale d'un projectile — des situations classiques où une variable est modélisée par une équation quadratique.
La complétion du carré permet aussi de retrouver ce sommet directement : elle réécrit l'expression sous la forme a(x−h)²+k, où h et k sont exactement les coordonnées calculées ci-dessus. C'est d'ailleurs la méthode dont dérive la formule quadratique elle-même.
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