nCr ou nPr : comment savoir lequel utiliser ? Guide combinaison/permutation

Un comité de 3 personnes, un mot de passe à 4 chiffres, un mot comme BANANA à réarranger, ou 6 convives autour d'une table ronde — ces situations se ressemblent mais demandent des formules différentes. Voici comment reconnaître le bon calcul, en quelques secondes.

1. Combinaison ou permutation : la seule question qui compte

Réponse rapideSi l'ordre n'a pas d'importance, c'est une combinaison (nCr). Si l'ordre change le résultat, c'est une permutation (nPr). Les deux se calculent à partir des factorielles, mais nPr est toujours r! fois plus grand que nCr pour les mêmes n et r.

Prenons un exemple simple, exactement le type de cas que gère le calculateur de combinaison & permutation de ToolPico. Vous voulez former une équipe de 3 personnes parmi 10 candidats, sans distinction de rôle : c'est une combinaison. Le nombre de résultats possibles est C(10,3) = 120. Mais si vous voulez désigner un président, un secrétaire et un trésorier parmi ces mêmes 10 candidats — où l'ordre d'attribution change qui obtient quel poste — c'est une permutation : P(10,3) = 720 possibilités, soit exactement 6 fois plus (6 = 3!, le nombre de façons de réordonner 3 personnes).

La formule de la combinaison est C(n,r) = n! / (r!·(n−r)!), et celle de la permutation P(n,r) = n! / (n−r)!. Elles partagent le même dénominateur (n−r)!, la seule différence étant la division supplémentaire par r! dans la combinaison, qui élimine les doublons dus au réordonnancement.

Exemple illustratif — n = 10 candidats, r = 3 sélectionnés (calcul mathématique exact, pas une statistique réelle)
Scénario	Formule	Résultat
Équipe de 3 (rôles identiques)	C(10,3)	120
Président / secrétaire / trésorier	P(10,3)	720
Rapport permutation/combinaison	3! = 6	720 ÷ 120 = 6

2. Pourquoi les factorielles explosent — et comment les calculer exactement

Réponse rapiden! croît si vite qu'au-delà de 170!, un nombre flottant standard déborde et affiche « Infinity ». Un outil basé sur BigInt calcule la valeur exacte, chiffre par chiffre, sans cette limite.

La factorielle n! = n×(n−1)×...×2×1 semble innocente pour de petits nombres : 5! = 120, 10! = 3 628 800. Mais la croissance est si rapide que 20! dépasse déjà 2,4×10^18, et 100! compte 158 chiffres. JavaScript natif (comme la plupart des calculatrices) utilise des nombres à virgule flottante double précision, plafonnés autour de 1,79×10^308 : au-delà de 170!, le résultat devient « Infinity », même si mathématiquement la valeur existe bel et bien.

C'est là qu'intervient le type BigInt en JavaScript, qui représente les entiers sans limite de taille pratique. Le calculateur ToolPico bascule automatiquement sur BigInt dès que nécessaire, ce qui permet d'obtenir des résultats exacts pour des factorielles de plusieurs centaines, voire milliers de chiffres — utile pour la théorie des probabilités, la cryptographie ou simplement la curiosité mathématique.

À retenir : par convention mathématique, 0! = 1. C'est ce qui garantit que C(n,0) et C(n,n) valent toujours 1 — il n'y a qu'une seule façon de « ne rien choisir » ou de « tout choisir ».

3. Compter les arrangements d'un mot ou d'un code avec des répétitions

Réponse rapidePour un mot avec des lettres répétées, divisez n! par le produit des factorielles de chaque groupe de lettres identiques. BANANA (6 lettres, dont 3 A et 2 N) donne 6!/(3!·2!) = 60 arrangements distincts, pas 720.

Si toutes les lettres d'un mot de 6 lettres étaient différentes, il y aurait 6! = 720 façons de les réarranger. Mais quand des lettres se répètent, échanger deux A identiques entre eux ne crée pas un nouvel arrangement visible — il faut donc diviser par les factorielles des répétitions pour ne compter chaque disposition distincte qu'une seule fois.

C'est exactement le mode « Permutation avec répétition » du calculateur : saisissez un mot comme BANANA, ou directement les tailles de groupes séparées par des virgules (ici 3,2,1), et l'outil applique n!/(n1!·n2!·...·nk!) automatiquement. Le même principe s'applique aux codes ou mots de passe contenant des caractères répétés, et à la variante « combinaison avec répétition » (formule C(n+r−1,r)) quand on choisit r éléments parmi n types en autorisant les doublons — par exemple sélectionner 5 fruits au total parmi 3 variétés disponibles en quantité illimitée.

4. Permutations circulaires : tables rondes, colliers et bracelets

Réponse rapidePour n éléments disposés en cercle, le nombre d'arrangements distincts est (n−1)!, et non n!, car faire pivoter tout le cercle ne change pas la disposition relative.

Aligner 6 personnes sur un banc donne 6! = 720 ordres possibles. Mais les asseoir autour d'une table ronde change la donne : une rotation complète du groupe produit la même configuration relative (chacun a toujours le même voisin de gauche et de droite), donc on divise par n pour éliminer ces doublons rotationnels, ce qui donne (6−1)! = 5! = 120 arrangements distincts.

Pour des objets qui peuvent aussi être retournés — un collier de perles ou un bracelet, où l'image miroir compte comme identique — on divise en plus par 2 : (n−1)!/2. Un collier de 6 perles distinctes a donc 5!/2 = 60 arrangements réellement différents. Le mode « Circulaire » du calculateur applique directement ces deux formules selon le contexte choisi.

Calculez nCr, nPr, les permutations avec répétition et les factorielles géantes en un clic.

Essayer l'outil →

Questions fréquentes

Comment savoir si un problème est une combinaison ou une permutation ?

Posez-vous la question : l'ordre compte-t-il ? Si former un « groupe » ou une « sélection » suffit (peu importe qui a été choisi en premier), c'est une combinaison (nCr). Si l'on parle d'un classement, d'un mot de passe ou d'un podium où la position de chaque élément change le résultat, c'est une permutation (nPr). Exemple : choisir 3 fruits dans un panier est une combinaison ; classer 3 coureurs sur un podium est une permutation.

Quelle est la formule exacte de nCr et de nPr ?

nPr = n! / (n−r)! et nCr = n! / (r!·(n−r)!). Les deux formules partagent le même dénominateur (n−r)!, mais nCr divise en plus par r! pour retirer les doublons dus à l'ordre. Concrètement, nPr = nCr × r!, donc la permutation est toujours au moins aussi grande que la combinaison correspondante.

Pourquoi une factorielle comme 200! ne s'affiche-t-elle pas sur une calculatrice normale ?

Les calculatrices classiques et JavaScript natif utilisent des nombres à virgule flottante, limités à environ 1,79×10^308. Or 171! dépasse déjà cette limite et s'affiche comme « Infinity ». Un calculateur qui utilise le type BigInt évite ce plafond et peut afficher la valeur exacte, chiffre par chiffre, même pour des factorielles de plusieurs centaines de chiffres.

Comment compter les arrangements distincts d'un mot avec des lettres répétées ?

On utilise la permutation avec répétition : n! divisé par le produit des factorielles de chaque groupe de lettres identiques. Pour le mot BANANA (6 lettres : 3 A, 2 N, 1 B), le calcul est 6! / (3!·2!·1!) = 720/12 = 60 arrangements distincts, au lieu de 720 si toutes les lettres étaient différentes.

Qu'est-ce qu'une permutation circulaire et en quoi diffère-t-elle d'une permutation en ligne ?

Une permutation circulaire compte les arrangements autour d'une table ronde, où faire pivoter tout le groupe donne la même disposition relative. Le nombre d'arrangements en ligne n! est donc divisé par n, ce qui donne (n−1)!. Exemple : 6 convives autour d'une table ronde ont (6−1)! = 120 dispositions distinctes, contre 720 s'ils étaient alignés sur un banc.

Guides connexes

Note méthodologique : les exemples chiffrés de cet article (comité de 10 personnes, mot BANANA, table de 6 convives) sont des illustrations mathématiques standard destinées à clarifier les formules — ce contenu est fourni à titre informatif et pédagogique uniquement, sans lien avec une situation réelle particulière.

nCr ou nPr : comment savoir lequel utiliser pour votre problème ?