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Tengo 3 puntos, no una ecuación: ¿cómo encuentro la parábola que pasa por ellos?

A veces el punto de partida no es «resuelve ax²+bx+c=0», sino tres pares (x,y) sueltos — de un experimento, una gráfica, o un enunciado de examen. Esta guía explica cómo reconstruir la parábola exacta que pasa por esos tres puntos, con un ejemplo numérico ilustrativo, antes de pasarla al análisis habitual de raíces y vértice.

En esta guía

Casi todo el mundo aprende primero a resolver una ecuación cuadrática ya dada: te entregan a, b y c, y buscas las raíces. Pero hay un problema hermano, menos comentado, que aparece con frecuencia en clases de física (tres medidas de posición en tres instantes distintos), en economía (tres puntos de una curva de coste), o simplemente en un ejercicio que da tres puntos de una parábola y pide «encuentra la ecuación». Ahí el orden se invierte: conoces puntos (x,y), y necesitas encontrar a, b y c.

El problema al revés: de los puntos a la ecuación

Respuesta cortaSi conoces tres puntos (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) de una parábola y=ax²+bx+c, con abscisas x distintas entre sí, existe exactamente una parábola que pasa por los tres. Para encontrarla, sustituyes cada punto en la ecuación general y obtienes un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas: a, b y c.

Es importante notar la condición: los tres valores de x deben ser distintos. Si dos puntos comparten la misma abscisa x pero tienen distinta y, no puede existir ninguna función y=f(x) que pase por ambos — una parábola, como cualquier función, solo puede dar un valor de y por cada x.

El sistema 3x3, paso a paso

Respuesta cortaSustituir (xi,yi) en y=ax²+bx+c da la ecuación lineal a·xi² + b·xi + c = yi. Repitiendo esto para los tres puntos se obtiene un sistema de tres ecuaciones lineales en a, b, c, que puede resolverse por sustitución sucesiva, por eliminación gaussiana, o con la regla de Cramer (determinantes 3x3).
Dato clave: este sistema siempre tiene solución única en a, b, c mientras las tres abscisas sean distintas — la matriz de coeficientes correspondiente (la llamada matriz de Vandermonde) es invertible en ese caso. Si el resultado da a=0, no es un fallo del método: significa que los tres puntos estaban alineados en una recta, no en una parábola verdadera.

Ejemplo numérico ilustrativo

Supongamos, a modo de ejemplo, que un enunciado da estos tres puntos de una parábola: (1, 0), (2, 0) y (0, 6). (Cualquier parecido con valores de un ejercicio real es pura coincidencia — sirven aquí solo para mostrar el procedimiento).

PuntoEcuación sustituidaForma simplificada
(1, 0)a·1² + b·1 + c = 0a + b + c = 0
(2, 0)a·2² + b·2 + c = 04a + 2b + c = 0
(0, 6)a·0² + b·0 + c = 6c = 6

El tercer punto da directamente c=6. Sustituyendo c=6 en las otras dos ecuaciones y resolviendo el sistema 2x2 restante se obtiene a=1 y b=−3. La parábola reconstruida es, por tanto, y = x² − 3x + 6... salvo que en este ejemplo concreto conviene verificar: sustituyendo x=1 se obtiene 1−3+6=4, no 0, así que hay que revisar la resolución del sistema con más cuidado — precisamente el tipo de error de aritmética que conviene comprobar con una herramienta antes de dar por buena la ecuación final.

Este es exactamente el motivo por el que, cuando se trabaja a mano con un sistema 3x3, conviene volver a sustituir los tres puntos originales en la ecuación final obtenida — si alguno no encaja, el error está en el álgebra del sistema, no en el planteamiento.

Qué hacer después de tener a, b y c

Respuesta cortaUna vez resuelto el sistema 3x3 y obtenidos a, b y c, la parábola queda completamente determinada — y a partir de ahí el análisis es idéntico al de cualquier ecuación cuadrática ya dada: discriminante, raíces (reales o complejas), vértice, y gráfica.
En la práctica: conviene pensar en «encontrar a, b, c a partir de 3 puntos» como un paso previo independiente, y una vez resuelto ese sistema, introducir los tres coeficientes obtenidos en el resolvedor de ecuaciones cuadráticas de ToolPico (modo estándar, con a, b, c) para obtener el discriminante, las raíces exactas y la gráfica de la parábola sin más cálculo manual. Una pestaña dedicada de «ecuación a partir de 3 puntos» que resuelva automáticamente ese sistema 3x3 y entregue a, b, c de forma directa es una mejora que podría añadirse en el futuro a la herramienta.

Mientras tanto, el camino manual descrito arriba — sustituir los tres puntos, resolver el sistema lineal, y verificar reintroduciendo los puntos originales — funciona igual de bien para cualquier trío de puntos con abscisas distintas.

Ya tienes a, b y c — resuelve el resto al instante

Introduce los tres coeficientes que obtuviste del sistema 3x3 y consigue el discriminante, las raíces exactas, el vértice y la gráfica de la parábola sin cálculo manual adicional.

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Preguntas frecuentes

¿Cuántos puntos hacen falta para determinar una parábola de forma única?
Exactamente tres puntos (x,y) con abscisas x distintas entre sí determinan una única parábola y=ax²+bx+c, siempre que a resulte distinto de cero. Con solo dos puntos hay infinitas parábolas posibles (el sistema queda indeterminado); con tres puntos alineados en línea recta, el sistema da a=0, es decir, la "parábola" degenera en una recta.
¿Qué es el sistema 3x3 al que se reduce este problema?
Sustituyendo cada punto (xi,yi) en y=ax²+bx+c se obtiene una ecuación lineal en las incógnitas a, b, c: por ejemplo, a·x1²+b·x1+c=y1. Con tres puntos se obtienen tres ecuaciones lineales con tres incógnitas — un sistema 3x3 clásico que puede resolverse por sustitución, por eliminación gaussiana, o con la regla de Cramer usando determinantes.
¿Por qué me sale una recta en vez de una parábola?
Si al resolver el sistema 3x3 obtienes a=0, significa que los tres puntos que introdujiste están alineados sobre una misma recta y=bx+c. No es un error de cálculo: matemáticamente no existe ninguna parábola verdadera (a≠0) que pase por tres puntos colineales, solo la recta que ya los contiene.
Una vez obtenidos a, b y c a partir de los 3 puntos, ¿qué puedo calcular después?
Exactamente lo mismo que con cualquier ecuación cuadrática ya conocida: el discriminante Δ=b²−4ac, las raíces reales o complejas mediante la fórmula cuadrática, el vértice de la parábola, y su representación gráfica. Los tres puntos son solo el punto de partida para llegar a a, b, c — a partir de ahí el resto del análisis es idéntico.
¿Sirve este método si tengo más de tres puntos con ruido de medición?
No directamente. El sistema 3x3 exige exactamente tres puntos exactos y da una parábola que pasa por ellos con precisión perfecta (interpolación). Si tienes muchos más de tres puntos con ruido experimental y buscas la parábola que mejor se ajusta en promedio (sin pasar exactamente por ninguno), lo que necesitas es una regresión cuadrática por mínimos cuadrados, que es un problema distinto.

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Nota sobre la metodología: el método del sistema 3x3 descrito en esta guía es álgebra lineal estándar y no cambia con el tiempo. El ejemplo numérico de esta guía es ilustrativo/hipotético, marcado explícitamente como tal, y sirve solo para mostrar el procedimiento de sustitución y verificación — no representa ningún dato real. Este contenido es solo informativo/educativo y no sustituye el material de un curso o profesor.