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¿Cómo resolver x²−5x+6=0? El discriminante y la fórmula cuadrática explicados con un ejemplo real

Si tienes una ecuación de segundo grado delante y no sabes por dónde empezar, esta guía te lleva del discriminante a las raíces finales con un ejemplo numérico completo — y un resolvedor gratuito para comprobar cualquier ecuación al instante.

En esta guía

Una ecuación cuadrática tiene la forma ax²+bx+c=0, con a≠0. Aparece constantemente en clases de matemáticas de secundaria y bachillerato, pero también en problemas de física (movimiento con aceleración constante), geometría (áreas), y economía básica (funciones de coste o beneficio con un término cuadrático). Resolverla significa encontrar los valores de x que hacen que la igualdad sea cierta — y el camino más fiable pasa siempre por el mismo primer cálculo: el discriminante.

El discriminante primero, antes de calcular nada más

Respuesta cortaAntes de aplicar la fórmula cuadrática, calcula Δ = b² − 4ac. El signo de Δ te dice de antemano qué tipo de solución vas a obtener: dos raíces reales distintas si Δ>0, una raíz real doble si Δ=0, o dos raíces complejas si Δ<0.

Este paso ahorra tiempo porque evita sorpresas: si vas a mitad de la fórmula cuadrática y descubres una raíz cuadrada de un número negativo, es porque ya deberías haber sabido — calculando Δ primero — que las soluciones serían complejas, no reales.

Dato clave: el discriminante también aparece, con signo cambiado, en la fórmula del vértice de la parábola: y₀ = −Δ/4a. Por eso un Δ negativo con a>0 implica que toda la parábola queda por encima del eje x (nunca lo cruza).

La fórmula cuadrática (fórmula general)

Respuesta cortaLa fórmula cuadrática es x = (−b ± √Δ) / 2a. Una vez calculado Δ, solo hace falta sustituir sus valores, sacar la raíz cuadrada, y aplicar el signo ± para obtener las dos raíces (o la única raíz doble, si Δ=0).

Cuando Δ es negativo, la raíz cuadrada se expresa con la unidad imaginaria i, de modo que √Δ = i√|Δ|, y las dos raíces resultan ser un par de números complejos conjugados: x = p + qi y x = p − qi.

Ejemplo paso a paso: x² − 5x + 6 = 0

Tomemos un ejemplo concreto para ver el proceso completo. Identificamos los coeficientes: a=1, b=−5, c=6.

PasoCálculoResultado
DiscriminanteΔ = (−5)² − 4·1·6Δ = 25 − 24 = 1
Raíz de Δ√11
Raíz x1(5 + 1) / 2x1 = 3
Raíz x2(5 − 1) / 2x2 = 2

Como Δ=1>0, obtenemos dos raíces reales distintas: x1=3 y x2=2. Puedes verificar este mismo ejemplo (u otro cualquiera) escribiendo los coeficientes en el resolvedor de ecuaciones cuadráticas de ToolPico, que muestra el discriminante, las raíces exactas, y la gráfica de la parábola automáticamente.

Comprobar el resultado con las fórmulas de Vieta

Respuesta cortaLas fórmulas de Vieta permiten comprobar unas raíces sin repetir todo el cálculo: la suma de las raíces debe ser igual a −b/a, y su producto debe ser igual a c/a.
En el ejemplo anterior: x1+x2 = 3+2 = 5, y −b/a = −(−5)/1 = 5 ✓. Además x1·x2 = 3·2 = 6, y c/a = 6/1 = 6 ✓. Ambas comprobaciones coinciden, así que las raíces x1=3 y x2=2 son correctas.

Esta comprobación es especialmente útil en exámenes: si el resultado de la suma o el producto no coincide con lo esperado, sabes de inmediato que hay un error de cálculo en algún paso anterior, sin tener que rehacer toda la fórmula cuadrática desde cero.

Resuelve tu propia ecuación cuadrática

Introduce cualquier a, b, c (o pega la ecuación directamente) y obtén el discriminante, las raíces exactas, el vértice y la gráfica al instante.

Probar la herramienta →

Preguntas frecuentes

¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática paso a paso?
Primero reescribe la ecuación en la forma ax²+bx+c=0 e identifica a, b y c. Calcula el discriminante Δ=b²−4ac. Después aplica la fórmula cuadrática x=(−b±√Δ)/2a. Si Δ>0 obtienes dos raíces reales distintas, si Δ=0 una raíz doble, y si Δ<0 dos raíces complejas conjugadas.
¿Qué significa que el discriminante sea negativo?
Un discriminante negativo (Δ<0) indica que la ecuación no tiene raíces reales: la parábola correspondiente nunca cruza el eje x. Las dos raíces existen igualmente, pero como números complejos conjugados de la forma p+qi y p−qi.
¿Para qué sirven las fórmulas de Vieta en la práctica?
Las fórmulas de Vieta (x1+x2=−b/a y x1·x2=c/a) permiten comprobar en segundos si unas raíces calculadas son correctas, sin repetir la fórmula cuadrática. También sirven en sentido inverso: si conoces las raíces que quieres, puedes reconstruir la ecuación ax²+bx+c=0 a partir de ellas.
¿Cómo se relaciona el vértice de la parábola con el discriminante?
El vértice tiene abscisa x₀=−b/2a y ordenada y₀=−Δ/4a. Por eso el signo del discriminante y el signo de 'a' determinan juntos si el vértice queda por encima o por debajo del eje x, lo cual explica directamente cuántas veces la parábola cruza ese eje.
¿Sirve la fórmula cuadrática si el coeficiente a es cero?
No. Si a=0 la ecuación deja de ser cuadrática y se convierte en una ecuación lineal (bx+c=0), que se resuelve simplemente despejando x=−c/b. La fórmula cuadrática requiere a≠0 porque de lo contrario se dividiría entre cero.

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Nota sobre la metodología: las fórmulas de esta guía (discriminante, fórmula cuadrática, fórmulas de Vieta y vértice) son resultados estándar de álgebra que no cambian con el tiempo. El ejemplo numérico (x²−5x+6=0) es ilustrativo y se calculó explícitamente para esta guía; cualquier otro conjunto de coeficientes puede verificarse con la herramienta enlazada arriba. Este contenido es solo informativo/educativo y no sustituye el material de un curso o profesor.