¿Cómo saber si un número es primo? Factorización y criba de Eratóstenes explicadas
Si necesitas comprobar si un número es primo, descomponerlo en sus factores primos, listar todos los primos de un rango, o saber si dos números no comparten ningún divisor común (coprimos), aquí tienes el método paso a paso — con ejemplos concretos y sin jerga innecesaria.
Cómo comprobar si un número es primo
Respuesta cortaUn número primo es un número natural mayor que 1 que solo es divisible entre 1 y entre sí mismo. Para comprobarlo, basta dividir el número entre cada entero de 2 hasta su raíz cuadrada; si ninguno divide exactamente, el número es primo. Para números muy grandes se usan tests probabilísticos-deterministas rápidos como Miller-Rabin en lugar de la división por tanteo.
Números como 2, 3, 5, 7, 11 y 13 son primos; nota que todo número primo excepto el 2 es impar, ya que cualquier número par mayor que 2 es divisible entre 2. Los números mayores que 1 que no son primos se llaman compuestos (como 4, 6, 8 o 9); el 1, en cambio, no se considera ni primo ni compuesto por convención matemática.
Dos métodos, según el tamaño del número
División por tanteo: instantánea para números de hasta unos pocos millones.
Test de Miller-Rabin: con el conjunto correcto de testigos, da un resultado cierto incluso para números de 18 dígitos, mucho más rápido que la división por tanteo.
La calculadora de factorización de ToolPico aplica automáticamente el método adecuado según el tamaño del número que introduzcas, así que no necesitas decidir tú cuál usar — simplemente escribes el número y obtienes la respuesta al instante, sin enviar ningún dato a un servidor.
Cómo descomponer un número en sus factores primos
Respuesta cortaEmpezando por el número primo más pequeño (2), divide el número repetidamente hasta que ya no se divida exactamente, luego pasa al siguiente primo (3, 5, 7...). El resultado se escribe como un producto exponencial — por ejemplo, 360 = 2³ × 3² × 5. Según el teorema fundamental de la aritmética, esta descomposición es única para cada número (salvo el orden de los factores).
Veamos el proceso completo para el número 360, dividiendo paso a paso:
- 360 ÷ 2 = 180 → 180 ÷ 2 = 90 → 90 ÷ 2 = 45 (ya no se divide entre 2; tres divisiones, así que el exponente de 2 es 3)
- 45 ÷ 3 = 15 → 15 ÷ 3 = 5 (dos divisiones entre 3; exponente de 3 es 2)
- 5 ya es primo, así que el proceso se detiene aquí: exponente de 5 es 1
El resultado final es 360 = 2³ × 3² × 5, y de ahí se puede derivar directamente el número total de divisores multiplicando (3+1) × (2+1) × (1+1) = 24 divisores, y la suma de esos divisores (σ) usando la fórmula estándar de teoría de números.
Ejemplos de factorización (cifras ilustrativas, verificables con la calculadora)
| Número | ¿Primo? | Factorización |
|---|
| 100 | No | 2² × 5² |
| 360 | No | 2³ × 3² × 5 |
| 97 | Sí | 97 |
| 1000 | No | 2³ × 5³ |
La criba de Eratóstenes: listar todos los primos de un rango
Respuesta cortaLa criba de Eratóstenes es un algoritmo del siglo III a.C. que encuentra todos los números primos hasta un límite dado: empezando por 2, se eliminan los múltiplos de cada número primo (sin eliminar el propio primo); lo que queda sin marcar al final es primo. Es simple pero extremadamente rápido incluso para rangos grandes.
Un caso muy consultado es la lista de números primos entre 1 y 100: hay exactamente 25, siendo 2 el más pequeño y 97 el mayor. Con la pestaña «Analizar un rango» de la calculadora puedes generar esta lista — o la de un rango mucho más amplio, hasta 2.000.000 — de forma instantánea, con la opción de copiarla o descargarla como archivo de texto.
Dato clave: la cantidad de números primos se va espaciando cada vez más a medida que los números crecen (el llamado «teorema de los números primos»), pero nunca se agotan — Euclides demostró hace más de 2000 años que existen infinitos números primos.
Números coprimos, MCD y MCM
Respuesta cortaDos números son coprimos si no comparten ningún factor común aparte de 1 — es decir, su máximo común divisor (MCD) es 1 — sin que ninguno de los dos necesite ser primo en sí mismo. Por ejemplo, 8 y 15 son coprimos (MCD = 1) aunque ninguno de los dos sea primo.
La comprobación se hace calculando el MCD de los dos números mediante el algoritmo de Euclides (divisiones sucesivas), y viendo si el resultado es 1. La misma pestaña de la calculadora admite hasta 6 números a la vez y también muestra el mínimo común múltiplo (MCM), útil cuando necesitas simplificar fracciones o repartir cantidades en grupos iguales.
Si tu caso de uso es justamente ese —simplificar una fracción, encontrar el ciclo común de dos periodos, o repartir un total en partes iguales— nuestra calculadora de MCD y MCM está pensada específicamente para ese tipo de cálculo con más números a la vez.
Comprueba si un número es primo en segundos
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Preguntas frecuentes
¿Cómo se sabe si un número es primo?
El método más simple es la división por tanteo: comprobar si el número es divisible exactamente entre algún número de 2 hasta su raíz cuadrada; si ninguno divide exactamente, es primo. Esto es lento para números muy grandes, así que se usan en su lugar tests de primalidad probabilísticos-deterministas más rápidos como Miller-Rabin. Esta herramienta aplica división por tanteo a números pequeños y cambia automáticamente a un test rápido basado en Miller-Rabin para números grandes.
¿Cómo se encuentra la factorización en números primos de un número?
Empezando por el número primo más pequeño (2), divide el número repetidamente hasta que ya no se divida exactamente, luego pasa al siguiente número primo (3, 5, 7...). Esto continúa hasta que el cociente restante sea 1 o sea él mismo primo. El resultado se escribe como un producto exponencial de los números primos encontrados — por ejemplo, 360 = 2³ × 3² × 5. Según el teorema fundamental de la aritmética, esta descomposición es única para cada número (salvo el orden).
¿Qué es la criba de Eratóstenes?
La criba de Eratóstenes es un algoritmo del siglo III a.C. usado para encontrar todos los números primos hasta un límite dado. Empezando por 2, se eliminan los múltiplos de cada número primo (excluyendo el número primo mismo); los números restantes sin marcar son primos. Es simple pero extremadamente rápido para rangos grandes, y sigue usándose ampliamente hoy en día.
¿Qué significa que dos números sean coprimos?
Dos números son coprimos si no comparten ningún factor común aparte de 1 — es decir, su máximo común divisor (MCD) es 1 — sin que ninguno de los dos números necesite ser primo en sí mismo. Por ejemplo, 8 y 15 son coprimos (MCD = 1) aunque ninguno de los dos sea primo.
¿Por qué no se considera 1 un número primo?
Por definición, un número primo tiene exactamente dos divisores positivos distintos (1 y él mismo); el único divisor de 1 es el propio 1, así que no tiene dos divisores distintos. Además, si 1 se considerara primo, el teorema fundamental de la aritmética se derrumbaría, ya que 1 podría insertarse en cualquier factorización un número infinito de veces. Por eso las matemáticas tratan 1 como ni primo ni compuesto.
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Nota: los ejemplos numéricos de esta guía son ilustrativos y buscan explicar el método, no representan ningún dato estadístico real. Esta guía tiene fines informativos y educativos; para cálculos exactos y verificados, usa la calculadora enlazada arriba.