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Quadratische Gleichung Löser

Gib die Koeffizienten von ax²+bx+c=0 ein, um sofort die Diskriminante (Δ), reelle oder komplexe Nullstellen, die Verifikation mit Vieta'schen Formeln, den Scheitelpunkt und einen Parabel-Graphen zu erhalten — mit einer vollständigen Schritt-für-Schritt-Erklärung der Mitternachtsformel.

Δ = b²−4ac Reelle & komplexe Nullstellen Vieta-Verifikation Stand: 22. Juli 2026
Wandelt eine frei formulierte Gleichung automatisch in a, b, c um (z. B. 2x² + 3x = 2, x² = 5x − 6). Verwende ² oder ^2 für x².
a darf nicht 0 sein. Verwende ein Komma für Dezimalzahlen, „−” für negative Werte, und „3/4” für Brüche. Beispiele:
Komplexe Nullstellen eingeben (p ± qi)Aus = zwei reelle Nullstellen eingeben
Stelle mithilfe der umgekehrten Vieta'schen Formeln eine Gleichung aus bekannten Nullstellen auf. Beispiele:
⚙️ Erweiterte Einstellungen — Dezimalstellen, Schritt für Schritt, Graph
Schritt-für-Schritt-LösungΔ, Wurzel und Berechnung der Nullstellen in getrennten Zeilen
Parabel-GraphVisuelle Zusammenfassung als eingebettetes SVG
Live-BerechnungErgebnis aktualisiert sich automatisch beim Tippen
Δ = b² − 4acDiskriminantenformel
x=(−b±√Δ)/2aMitternachtsformel
x₀ = −b/2aScheitelpunkt (Symmetrieachse)
x1+x2=−b/aVieta: Summe/Produkt der Nullstellen
Kurzantwort Eine quadratische Gleichung hat die Form ax²+bx+c=0 und wird mit der Mitternachtsformel x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a gelöst. Berechne zuerst die Diskriminante Δ=b²−4ac: Ist Δ>0, gibt es zwei verschiedene reelle Nullstellen, ist Δ=0, gibt es eine doppelte Nullstelle, und ist Δ<0, gibt es zwei komplexe Nullstellen der Form a+bi. Der Rechner oben wendet diese Schritte automatisch an.
⚙️ Genauigkeits- & Geltungsbereichshinweis: Dieses Tool löst nur quadratische Gleichungen mit reellen Koeffizienten (a, b, c ∈ ℝ) in der Form ax²+bx+c=0; wird a=0 eingegeben, reduziert sich die Gleichung auf eine lineare Gleichung, und es wird ein separater Hinweis angezeigt. Die Formeln beruhen auf Standard-Algebra und Standardwerken der analytischen Geometrie und sind zeitlose mathematische Regeln, die sich nicht ändern und keine jährliche Aktualisierung erfordern. Die Ergebnisse werden auf die von dir gewählte Dezimalgenauigkeit gerundet.
📐 Quadratische Gleichung Löser — ToolPico ↗

Was ist eine quadratische Gleichung, und wie löst man sie?

Eine vollständige Anleitung — mit Formeln und Beispielen — zur Diskriminante, zur Mitternachtsformel, zu den Vieta'schen Formeln, zum Scheitelpunkt, zur Faktorisierung und zur quadratischen Ergänzung.

Eine quadratische Gleichung wird in der Form ax²+bx+c=0 (a≠0) geschrieben, wobei die höchste Potenz von x gleich 2 ist. Je nach Vorzeichen der Koeffizienten löst sich diese Art von Gleichung zu zwei verschiedenen reellen Nullstellen, einer einzigen doppelten (reellen) Nullstelle oder zwei komplexen Nullstellen auf. Dieses Tool arbeitet in beide Richtungen: Nullstellen finden für eine gegebene Gleichung, und eine Gleichung aus bekannten Nullstellen aufstellen (umgekehrte Vieta'sche Formeln).

Was ist die Diskriminante (Δ), und wie interpretiert man sie?

KurzantwortDie Diskriminante Δ=b²−4ac steht unter der Wurzel in der Mitternachtsformel und bestimmt die Art der Nullstellen: Δ>0 bedeutet zwei verschiedene reelle Nullstellen, Δ=0 bedeutet eine doppelte (reelle) Nullstelle, und Δ<0 bedeutet zwei komplexe (konjugierte) Nullstellen. Sie ist der erste — und wichtigste — Schritt, der vor dem Lösen der Gleichung berechnet wird.

Was passiert, wenn die Diskriminante negativ ist? (komplexe Nullstellen)

KurzantwortIst Δ<0, hat die Gleichung keine reellen Nullstellen; die Nullstellen sind ein Paar konjugiert komplexer Zahlen, geschrieben als x=p+qi und x=p−qi (p=−b/2a, q=√|Δ|/2a). Grafisch bedeutet das, dass die Parabel die x-Achse nie schneidet — ist a>0, liegt die Parabel vollständig darüber, ist a<0, liegt sie vollständig darunter.

Was ist die Mitternachtsformel (Lösungsformel)?

KurzantwortDie Mitternachtsformel lautet x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a. Setze die Koeffizienten a, b, c ein, berechne zuerst Δ=b²−4ac, ziehe daraus die Wurzel, und das ±-Zeichen liefert zwei Nullstellen (oder eine, wenn Δ=0). Diese Formel gilt für jede quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten, bei der a≠0 ist. In manchen Bundesländern wird stattdessen die p-q-Formel gelehrt (siehe Anleitung weiter unten) — beide führen zum selben Ergebnis.

Was sind die Vieta'schen Formeln?

KurzantwortVieta'sche Formeln beschreiben die Beziehung zwischen Nullstellen und Koeffizienten: Die Summe der Nullstellen ist x1+x2=−b/a, und das Produkt der Nullstellen ist x1·x2=c/a. Sie werden verwendet, um gefundene Nullstellen schnell zu überprüfen, um Summe/Produkt ohne Lösen der Gleichung zu berechnen, und um aus Nullstellen eine Gleichung aufzustellen (der Modus „Gleichung aus Nullstellen” dieses Tools).

Wie findet man den Scheitelpunkt einer Parabel?

KurzantwortFür die Parabel y=ax²+bx+c findet man den Scheitelpunkt mit x₀=−b/2a und y₀=c−b²/4a (äquivalent −Δ/4a). Ist a>0, ist der Scheitelpunkt ein Tiefpunkt, ist a<0, ist er ein Hochpunkt; die Symmetrieachse ist die senkrechte Gerade x=x₀.

Faktorisierung und quadratische Ergänzung

KurzantwortEine Faktorisierung über den reellen Zahlen ist nur möglich, wenn Δ≥0 ist: a(x−x1)(x−x2). Die quadratische Ergänzung funktioniert in jedem Fall und schreibt den Ausdruck als a(x−x₀)²+y₀ um; diese Form zeigt den Scheitelpunkt direkt, und aus ihr wird die Mitternachtsformel hergeleitet.

Verwandte Rechner: Scheitelpunkt, lineare Gleichung & Vieta

Die häufigsten verwandten Berechnungen für quadratische Gleichungen — alle sofort verfügbar.

📍Scheitelpunkt-Rechner
Finde schnell den Scheitelpunkt und die Öffnungsrichtung der Parabel y=ax²+bx+c.
📏Lineare-Gleichung-Löser
Löse eine Gleichung ersten Grades ax+b=0 (a≠0).
🔗Vieta-Verifizierer
Erzeuge Summe, Produkt und (für a=1) die Koeffizienten b, c aus zwei Nullstellen.

Referenztabellen & Beispiele

Eine zitierfähige Tabelle zu Diskriminante/Nullstellen, Beispielgleichungen und eine Zusammenfassung der Vieta'schen Formeln.

Art der Nullstellen nach Vorzeichen der Diskriminante (Δ)
Δ-BedingungAnzahl/Art der NullstellenGraph / x-Achse
Δ > 02 verschiedene reelle NullstellenSchneidet die x-Achse an 2 Punkten
Δ = 01 (doppelte) reelle NullstelleBerührt die x-Achse am Scheitelpunkt
Δ < 02 komplexe (konjugierte) NullstellenSchneidet die x-Achse nie
Beispielgleichungen und ihre Nullstellen
GleichungΔNullstellen
x² − 5x + 6 = 01x1=3, x2=2
x² − 4x + 4 = 00x=2 (doppelte Nullstelle)
x² + 2x + 5 = 0−16x=−1±2i
2x² + 3x − 2 = 025x1=0,5, x2=−2
x² − 1 = 04x1=1, x2=−1

Probiere diese Werte mit einem Klick über die „Beispiele”-Chips im Rechner oben aus.

Zusammenfassung der Vieta'schen Formeln (ax²+bx+c=0)
GrößeFormel
Summe der Nullstellenx1 + x2 = −b/a
Produkt der Nullstellenx1 · x2 = c/a
Scheitelpunkt (x₀)−b/2a
Scheitelpunkt (y₀)c − b²/4a = −Δ/4a

Übungsblatt: Quadratische Gleichungen üben

10 Übungsaufgaben zum Ausdrucken — löse sie selbst, dann klicke auf „Lösung anzeigen”, um die Nullstellen zu überprüfen. Über den Button unten kannst du das Blatt direkt als PDF drucken.

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Glossar der Begriffe zu quadratischen Gleichungen

Kurze Definitionen der wichtigsten Begriffe beim Lösen quadratischer Gleichungen.

Diskriminante (Δ)Der Ausdruck b²−4ac; bestimmt Anzahl und Art der Nullstellen.
NullstelleEin Wert von x, der die Gleichung erfüllt, sie also gleich null macht.
Reelle NullstelleEine Nullstelle aus den reellen Zahlen; existiert, wenn Δ≥0.
Komplexe NullstelleEin konjugiertes Nullstellenpaar der Form a+bi, das entsteht, wenn Δ<0.
ParabelDer Graph von y=ax²+bx+c; öffnet sich nach oben, wenn a>0, nach unten, wenn a<0.
ScheitelpunktDer Tief- oder Hochpunkt der Parabel: (−b/2a, −Δ/4a).
SymmetrieachseDie senkrechte Gerade durch den Scheitelpunkt, x=−b/2a, die die Parabel halbiert.
Vieta'sche FormelnDie Identitäten x1+x2=−b/a und x1·x2=c/a, die Nullstellen und Koeffizienten verknüpfen.
FaktorisierungDen Ausdruck als a(x−x1)(x−x2) schreiben; über den reellen Zahlen möglich, wenn Δ≥0.
Quadratische Ergänzungax²+bx+c als a(x−x₀)²+y₀ umschreiben.
KoeffizientDie Konstanten a, b, c in der Gleichung; a skaliert x², b skaliert x, und c ist das konstante Glied.
y-AchsenabschnittDer Punkt (0, c), an dem der Graph die y-Achse schneidet, ermittelt durch Einsetzen von x=0.
MitternachtsformelUmgangssprachlicher deutscher Name für die Lösungsformel x=(−b±√(b²−4ac))/2a der quadratischen Gleichung.
p-q-FormelAlternative Lösungsformel für normierte Gleichungen x²+px+q=0: x=−p/2 ± √((p/2)²−q); wird in vielen Bundesländern parallel zur Mitternachtsformel gelehrt.

Ausführliche Anleitungen

Detaillierte Antworten auf die am häufigsten gestellten Fragen zu quadratischen Gleichungen.

Wie zeigt die Diskriminante, wie viele Nullstellen es gibt?

Um zu verstehen, wie viele Nullstellen — und von welcher Art — eine quadratische Gleichung hat, musst du nur das Vorzeichen von Δ=b²−4ac prüfen. Ist Δ positiv, gibt es zwei verschiedene reelle Nullstellen, ist es null, gibt es eine (doppelte) reelle Nullstelle, und ist es negativ, gibt es zwei komplexe Nullstellen — dieser eine Schritt zeigt dir die „Form” der Gleichung, bevor du sie zu Ende löst.

Gib die Koeffizienten oben im Reiter „Nullstellen finden” ein und klicke auf Lösen — das Tool berechnet Δ automatisch und erklärt Schritt für Schritt, welcher Nullstellentyp vorliegt.

Wofür werden komplexe Nullstellen im echten Leben verwendet?

Die komplexen Nullstellen, die auftreten, wenn Δ<0 ist, wirken abstrakt, werden aber vielfach in der Elektrotechnik zur Analyse von Wechselstromkreisen, in der Regelungstechnik zur Stabilitätsanalyse und in der Signalverarbeitung eingesetzt. Mathematisch garantieren sie, dass eine Gleichung ohne reelle Nullstellen immer noch zwei konjugiert komplexe Nullstellen besitzt.

Dieses Tool zeigt die Nullstellen direkt in a+bi-Form an, wenn Δ<0 ist, und die Grafik-Zusammenfassung erklärt, warum die Parabel die x-Achse nie berührt.

Wie stellt man eine Gleichung aus ihren Nullstellen auf? (umgekehrte Vieta)

Kennt man zwei Nullstellen, kann man die Gleichung mithilfe der umgekehrten Vieta'schen Formeln aufstellen: berechne b = −a(x1+x2) und c = a·x1·x2, und schreibe dann ax²+bx+c=0. Die Wahl a=1 ergibt die einfachste Form.

Gib zwei reelle Nullstellen (oder p und q für eine komplexe Nullstelle) im Reiter „Gleichung aus Nullstellen” ein; das Tool berechnet b und c, stellt die Gleichung auf und löst sie erneut, um die Nullstellen zu überprüfen.

Mitternachtsformel oder p-q-Formel: Welche Methode wann verwenden?

Die Mitternachtsformel x=(−b±√(b²−4ac))/2a funktioniert für jede quadratische Gleichung, auch wenn a≠1 ist — sie wird in vielen Bundesländern (z. B. Bayern) als Standardmethode gelehrt. Die p-q-Formel ist eine schlankere Alternative für normierte Gleichungen der Form x²+px+q=0 (also a=1): x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Ist a≠1, teilt man die Gleichung zuerst durch a, um sie zu normieren, bevor man die p-q-Formel anwendet.

Beispiel: Aus x²−5x+6=0 liest man direkt p=−5 und q=6 ab: x = 5/2 ± √((5/2)²−6) = 5/2 ± √(1/4) = 5/2 ± 0,5 → x1=3, x2=2 — dasselbe Ergebnis wie mit der Mitternachtsformel. Dieser Rechner verwendet intern die Diskriminanten-Methode (gleichwertig zur Mitternachtsformel); die p-q-Formel liefert bei a=1 exakt dieselben Nullstellen und ist in manchen deutschen Lehrplänen der bevorzugte Lösungsweg.

Häufig gestellte Fragen

Wie löst man eine quadratische Gleichung?
Schreibe die Gleichung zunächst in der Form ax²+bx+c=0. Berechne die Diskriminante Δ=b²−4ac und wende die Mitternachtsformel x=(−b±√Δ)/2a an. Ist Δ>0, gibt es zwei verschiedene reelle Nullstellen, ist Δ=0, gibt es eine doppelte (reelle) Nullstelle, und ist Δ<0, gibt es zwei komplexe Nullstellen der Form a+bi. Du kannst die Nullstellen mit den Vieta'schen Formeln überprüfen (x1+x2=−b/a, x1·x2=c/a).
Was ist die Diskriminante?
Die Diskriminante ist der Ausdruck Δ=b²−4ac, der die Art der Nullstellen einer quadratischen Gleichung bestimmt. Sie steht unter der Wurzel in der Mitternachtsformel, und ihr Vorzeichen verrät dir direkt, wie viele reelle Nullstellen es gibt und ob die Nullstelle einfach, doppelt oder komplex ist — sie ist das Erste, was du vor dem Lösen der Gleichung berechnest.
Was passiert, wenn die Diskriminante negativ ist?
Ist Δ<0, hat die Gleichung keine reellen Nullstellen; die Nullstellen sind ein Paar konjugiert komplexer Zahlen, geschrieben als x=a+bi und x=a−bi. Grafisch bedeutet das, dass die Parabel die x-Achse nie schneidet: Ist a>0, liegt die Parabel vollständig oberhalb der x-Achse, ist a<0, liegt sie vollständig darunter.
Was ist die Mitternachtsformel?
Die Mitternachtsformel (auch Lösungsformel genannt) lautet x=(−b±√(b²−4ac))/(2a). Du setzt die Koeffizienten a, b, c ein, berechnest zuerst die Diskriminante b²−4ac, ziehst daraus die Wurzel, und das ±-Zeichen liefert dir zwei Nullstellen (oder eine, wenn Δ=0). Ist a=0, handelt es sich nicht mehr um eine quadratische Gleichung.
Was sind die Vieta'schen Formeln?
Die Vieta'schen Formeln setzen die Nullstellen von ax²+bx+c=0 mit seinen Koeffizienten in Beziehung: Die Summe der Nullstellen ist x1+x2=−b/a, das Produkt der Nullstellen ist x1·x2=c/a. Sie sind nützlich, um Summe/Produkt der Nullstellen zu finden, ohne die Gleichung zu lösen, um bereits gefundene Nullstellen schnell zu überprüfen, und um aus bekannten Nullstellen eine Gleichung aufzustellen.
Wie findet man den Scheitelpunkt einer Parabel?
Für die Parabel y=ax²+bx+c ist die x-Koordinate des Scheitelpunkts h=−b/(2a) und die y-Koordinate k=c−b²/(4a) (äquivalent k=−Δ/4a). Ist a>0, ist der Scheitelpunkt der Tiefpunkt der Parabel, und ist a<0, ist er der Hochpunkt; die Symmetrieachse ist die senkrechte Gerade x=h.
Wann ist eine Faktorisierung möglich?
Ein quadratischer Ausdruck lässt sich über den reellen Zahlen nur als a(x−x1)(x−x2) faktorisieren, wenn die Diskriminante Δ≥0 ist, wobei x1 und x2 die reellen Nullstellen sind. Ist Δ=0, wird der Ausdruck zu einem vollständigen Quadrat, a(x−x1)². Ist Δ<0, lässt er sich über den reellen Zahlen nicht faktorisieren — nur über den komplexen Zahlen.
Was ist quadratische Ergänzung?
Die quadratische Ergänzung ist ein Verfahren, das ax²+bx+c als a(x−h)²+k umschreibt, wobei h=−b/(2a) und k=c−b²/(4a) die Koordinaten des Scheitelpunkts sind. Diese Form lässt sich lösen, ohne die Mitternachtsformel herzuleiten, und lässt den Scheitelpunkt der Parabel direkt ablesen.
Wie werden die Nullstellen in exakter Form (Wurzel/Bruch) dargestellt?
Das exakte Ergebnis ergibt sich durch Vereinfachen der Wurzel in x=(−b±√Δ)/2a: Ist die Diskriminante Δ keine Quadratzahl, wird √Δ auf seine einfachste Wurzelform g√m reduziert (z. B. x=(3±√17)/2); ist sie eine Quadratzahl, werden die Nullstellen als rationale Brüche oder ganze Zahlen geschrieben (z. B. x1=1/2, x2=−2). Dieser Rechner zeigt diese exakte (Wurzel-/Bruch-)Form neben der Dezimalrundung an — das genaue Ergebnis, das bei Klassenarbeiten und Hausaufgaben erwartet wird.
Kann ich eine Gleichung lösen, ohne sie zuerst in die Form ax²+bx+c=0 zu bringen?
Ja. Gib eine frei formulierte Gleichung (z. B. x²=5x−6 oder 2x²+3x=2) in das Feld „Gleichung einfügen” ein und klicke auf Parsen — das Tool fasst beide Seiten zusammen, vereinfacht und reduziert die Gleichung auf die Koeffizienten a, b, c und löst sie dann automatisch. Du kannst ² oder ^2 für x² eingeben, und gebrochene Koeffizienten wie 3/4 werden unterstützt.

Methodik & Quellen

ToolPicos Löser für quadratische Gleichungen ist ein kostenloses, unabhängiges Tool. Die Berechnungslogik wendet direkt Standard-Algebra an: die Diskriminante Δ=b²−4ac bestimmt die Art der Nullstellen; reelle Nullstellen verwenden die Mitternachtsformel x=(−b±√Δ)/2a, komplexe Nullstellen verwenden x=−b/2a ± (√|Δ|/2a)i; der Scheitelpunkt wird durch quadratische Ergänzung ermittelt, und die Nullstellen werden mit den Vieta'schen Formeln überprüft (x1+x2=−b/a, x1·x2=c/a). Alternativ liefert die p-q-Formel bei normierten Gleichungen (a=1) dasselbe Ergebnis. Die Ergebnisse werden sofort clientseitig (in deinem Browser) berechnet; es werden keine Daten an einen Server gesendet.

Grundlage: Klassische Algebra und analytische Geometrie (die Diskriminanten-/Wurzelmethode, die Sätze von Vieta, die quadratische Ergänzung). Diese Regeln sind zeitlose mathematische Fakten, die keine jährliche Aktualisierung erfordern. Zuletzt aktualisiert: 22. Juli 2026.
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