Wie findet man den kleinsten Multiplikator, der eine Zahl zu einer Quadrat- oder Kubikzahl macht?

Zerlege die Zahl in Primfaktoren; sind alle Exponenten gerade, ist sie bereits eine Quadratzahl, und sind alle Exponenten Vielfache von 3, ist sie bereits eine Kubikzahl. Um sie zu einer Quadratzahl zu vervollständigen, multipliziere mit den Primzahlen, die einen ungeraden Exponenten haben; um sie zu einer Kubikzahl zu vervollständigen, multipliziere mit dem, was jeden Exponenten auf das nächste Vielfache von 3 bringt. Zum Beispiel ist 12 = 2² × 3 keine Quadratzahl; multipliziert man mit 3, erhält man 36 = 6², eine Quadratzahl. Um 12 zu einer Kubikzahl zu machen, braucht man 2 × 3² = 18: 12 × 18 = 216 = 6³.

Primfaktorzerlegung-Rechner | Ist es eine Primzahl? Faktoren & Sieb des Eratosthenes

Teste sofort, ob eine Zahl eine Primzahl ist, zerlege sie in ihre Primfaktoren (2×2×3), liste alle Primzahlen in einem Bereich auf, finde ihre Teiler, sieh die nächste/vorherige Primzahl, und prüfe, ob zwei Zahlen teilerfremd sind — alles in einem Tool, mit sofortigen, klar verständlichen Ergebnissen.

Zahl

Gib eine positive ganze Zahl mit 1 bis 18 Stellen ein (bis 10¹⁸).

Start

Ende

Listet mit dem Sieb des Eratosthenes alle Primzahlen im Bereich auf (bis 2.000.000).

Prüft, ob zwei positive ganze Zahlen einen gemeinsamen Teiler haben (über den ggT):

Zahl A

Zahl B

Die wievielte Primzahl? (n)

Findet den Wert der n-ten Primzahl (n bis 200.000).

Berechnet den größten gemeinsamen Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Zahlen — inklusive Primfaktorzerlegung beider Zahlen:

Zahl A

Zahl B

⚙️ Anzeigeeinstellungen — Teilerliste, Primfaktorbaum

Teilerliste anzeigenListet alle positiven Teiler der Zahl auf

Primfaktorbaum anzeigenVisualisiert die Zerlegung Schritt für Schritt

Kurzantwort Eine Zahl ist prim, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Dieses Tool nutzt bei kleinen Zahlen die Probedivision und bei großen Zahlen einen schnellen Miller-Rabin-basierten Primzahltest, um sofort eine Antwort zu liefern; ist die Zahl nicht prim, wird sie in Primfaktoren wie 2×2×3 zerlegt und ihre Teiler werden aufgelistet.

168Primzahlen zwischen 1 und 1.000

97größte Primzahl unter 100

2die einzige gerade Primzahl

541die 100. Primzahl

⚙️ So funktioniert's: Dieses Tool läuft vollständig in deinem Browser; es werden keine Daten an einen Server gesendet. Bei kleinen Zahlen kommt die Probedivision zum Einsatz, bei großen Zahlen ein deterministischer Miller-Rabin-Primzahltest und der Pollard-Rho-Algorithmus zur Faktorisierung — so werden selbst 18-stellige Zahlen innerhalb von Sekunden aufgelöst. Aus Performancegründen ist die Bereichsdurchsuchung auf 2.000.000 begrenzt.

🔢 Primfaktorzerlegung-Rechner — ToolPico ↗

Was ist eine Primzahl, und wie testet und faktorisiert man sie?

Eine vollständige Anleitung — mit Methoden und Beispielen — zur Definition einer Primzahl, zum Primzahltest, zur Primfaktorzerlegung und zu teilerfremden Zahlen.

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Zahlen wie 2, 3, 5, 7, 11, 13 ... sind prim; jede Primzahl außer 2 ist ungerade. Zahlen größer als 1, die nicht prim sind, heißen zusammengesetzt (z. B. 4, 6, 8, 9); die Zahl 1 ist per Definition weder prim noch zusammengesetzt. Nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik lässt sich jede ganze Zahl größer als 1 auf genau eine Weise als Produkt von Primfaktoren schreiben — genau das berechnet dieses Tool.

Wie erkennt man, ob eine Zahl eine Primzahl ist?

KurzantwortDie einfachste Methode ist die Probedivision: Man teilt die Zahl durch jede ganze Zahl von 2 bis zu ihrer Quadratwurzel; teilt keine davon glatt, ist die Zahl prim. Diese Methode ist bei kleinen Zahlen schnell, wird aber bei großen Zahlen (etwa ab 15 Stellen) drastisch langsamer. Deshalb werden bei großen Zahlen stattdessen schnelle, probabilistisch-deterministische Primzahltests wie Miller-Rabin verwendet; dieses Tool wählt automatisch die passende Methode.

Probedivision: liefert bei kleinen Zahlen (bis zu einigen Millionen) ein sofortiges Ergebnis.
Miller-Rabin-Test: liefert mit der richtigen Menge an Zeugenwerten für Zahlen bis 18 Stellen ein sicheres Ergebnis und ist deutlich schneller als die Probedivision.
Pollard-Rho-Algorithmus: findet die Faktoren großer zusammengesetzter Zahlen mit weit weniger Operationen als die Probedivision.

Wie findet man die Primfaktorzerlegung einer Zahl?

KurzantwortBeginnend mit der kleinsten Primzahl (2) teilt man die Zahl wiederholt, bis sie nicht mehr glatt teilbar ist, und geht dann zur nächsten Primzahl über (3, 5, 7...); dies wird fortgesetzt, bis der verbleibende Quotient 1 ist. Das Ergebnis wird als Exponentialprodukt geschrieben: zum Beispiel 360 = 2³ × 3² × 5. Diese Zerlegung ist für jede Zahl eindeutig (abgesehen von der Reihenfolge).

Welche Primzahlen gibt es von 1 bis 100?

KurzantwortVon 1 bis 100 gibt es 25 Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Die größte ist 97. Diese Liste kannst du dir — oder einen größeren Bereich — sofort im Reiter „Bereich durchsuchen” oben anzeigen lassen.

Was ist das Sieb des Eratosthenes?

KurzantwortDiese aus dem 3. Jahrhundert v. Chr. stammende Methode streicht die Vielfachen jeder Primzahl, beginnend bei 2; was übrig bleibt, ist prim. Sie ist einfach und dennoch auch bei großen Bereichen extrem schnell; dieses Tool verwendet für seine Bereichsdurchsuchung genau diesen Algorithmus.

Was bedeutet es, dass zwei Zahlen teilerfremd sind?

KurzantwortZwei Zahlen sind teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben — das heißt, ihr größter gemeinsamer Teiler (ggT) ist 1 —, ohne dass eine der beiden Zahlen selbst prim sein muss. Zum Beispiel sind 8 und 15 teilerfremd (ggT = 1), obwohl keine der beiden Zahlen prim ist. Der Reiter „Teilerfremd?” prüft dies sofort durch Berechnung des ggT.

Gängige Primzahl-Beispiele

Tippe auf ein Beispiel unten, und der Rechner trägt es automatisch ein und zeigt das Ergebnis.

Beispielzahlen, ob sie prim sind, und ihre Primfaktorzerlegung
Zahl	Prim?	Primfaktorzerlegung
97	Ja (prim)	97
100	Nein	2² × 5²
360	Nein	2³ × 3² × 5
1.000	Nein	2³ × 5³
7.919	Ja (1000. Primzahl)	7.919
9.973	Ja (größte Primzahl unter 10.000)	9.973
10.000	Nein	2⁴ × 5⁴

Beliebte Berechnungen

Verwandte Mini-Rechner: Primzahlzwilling, vollkommene Zahl, Mersenne-Primzahl & Quadratwurzel

Vier weitere häufig gesuchte zahlentheoretische Prüfungen — alle sofort in deinem Browser berechnet.

👯Primzahlzwilling-Prüfung

Prüft auf Primzahlpaare, die sich um genau 2 unterscheiden (z. B. 11 und 13).

Zahl

💎Prüfung auf vollkommene Zahl

Entspricht die Teilersumme einer Zahl (ohne sich selbst) der Zahl selbst? (z. B. 6, 28, 496)

Zahl

🌀Mersenne-Primzahltest

Prüft mit dem Lucas-Lehmer-Test, ob eine Zahl der Form 2^p − 1 prim ist.

Exponent (p)

√Quadratwurzel vereinfachen

Zerlegt die Zahl unter der Wurzel in Primfaktoren und zieht so viele Quadrate wie möglich heraus.

Radikand

Referenztabellen & Schnellfakten

Zitierfähige, zeitlose Tabellen: Primzahlen von 1 bis 100, Teilbarkeitsregeln, Primzahlzwillinge und bekannte kleine Mersenne-Primzahlen.

Die 25 Primzahlen von 1 bis 100
Bereich	Primzahlen
1 – 25	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
26 – 50	29, 31, 37, 41, 43, 47
51 – 75	53, 59, 61, 67, 71, 73
76 – 100	79, 83, 89, 97

25 Primzahlen insgesamt. Quelle: Sieb des Eratosthenes (zeitlos — ein feststehendes mathematisches Ergebnis).

Teilbarkeitsregeln, die bei der Primfaktorzerlegung helfen
Teiler	Regel
2	Ist die letzte Ziffer gerade (0,2,4,6,8), ist die Zahl durch 2 teilbar.
3	Ist die Quersumme durch 3 teilbar, ist es auch die Zahl.
5	Ist die letzte Ziffer 0 oder 5, ist die Zahl durch 5 teilbar.
7	Es gibt keine einfache Abkürzung — teile direkt.
11	Ist die alternierende Quersumme (addieren, subtrahieren, addieren...) durch 11 teilbar, ist es auch die Zahl.

Diese Regeln zeigen schnell, welche Primzahl zuerst zu probieren ist; nutze für ein exaktes Ergebnis den Rechner oben.

Bekannte Primzahlzwillingspaare bis 1.000 (Beispiele)
Paar	Differenz
(3, 5)	2
(11, 13)	2
(17, 19)	2
(29, 31)	2
(41, 43)	2
(101, 103)	2

Die Primzahlzwillingsvermutung (dass unendlich viele Primzahlzwillinge existieren) ist noch immer ein unbewiesenes offenes Problem.

Bekannte kleine Mersenne-Primzahlen (2^p − 1)
p (Exponent)	2^p − 1
2	3
3	7
5	31
7	127
13	8.191
17	131.071
19	524.287

Mersenne-Primzahlen stehen in direktem Zusammenhang mit vollkommenen Zahlen. Teste deinen eigenen Wert für p im Mini-Rechner oben.

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Binde den Primfaktorzerlegung-Rechner kostenlos auf deiner eigenen Website ein. Kopiere den folgenden Code in dein HTML — das Tool läuft in einer vereinfachten Ansicht und verlinkt als Quelle auf diese Seite zurück.

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Glossar der zahlentheoretischen Begriffe

Kurze Definitionen der wichtigsten Begriffe rund um Primzahlen.

PrimzahlEine Zahl größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Z. B. 2, 3, 5, 7, 11.

Zusammengesetzte ZahlEine Zahl größer als 1, die nicht prim ist; sie hat mehr als zwei positive Teiler. Z. B. 4, 6, 8, 9.

PrimfaktorEine Primzahl, die eine andere Zahl teilt. Die Primfaktorzerlegung schreibt diese Faktoren in Exponentialschreibweise.

TeilerfremdZwei Zahlen ohne gemeinsamen Teiler außer 1 (ggT = 1).

PrimzahlzwillingEin Paar von Primzahlen, das sich um genau 2 unterscheidet. Z. B. (11,13), (17,19).

Sieb des EratosthenesEin klassischer Algorithmus, der alle Primzahlen bis zu einer Grenze findet, indem er Vielfache streicht.

Vollkommene ZahlEine Zahl, die der Summe ihrer eigenen positiven Teiler (ohne sich selbst) entspricht. Z. B. 6 = 1+2+3.

Mersenne-PrimzahlEine Primzahl der Form 2^p − 1, wobei p selbst ebenfalls prim sein muss.

Miller-Rabin-TestEin probabilistisch-deterministischer Primzahltest, der bei großen Zahlen weit schneller ist als die Probedivision.

Formel für die TeileranzahlIst n = p₁^a × p₂^b × ..., entspricht die Teileranzahl (a+1) × (b+1) × ...

Teilersumme σ(n)Die Summe aller positiven Teiler einer Zahl. Für 12 ist σ = 1+2+3+4+6+12 = 28.

Quadrat-/KubikzahlEine Zahl ist eine Quadratzahl, wenn alle Primexponenten gerade sind, und eine Kubikzahl, wenn sie alle Vielfache von 3 sind. Z. B. 36 = 6², 27 = 3³.

Ausführliche Anleitungen

Ausführliche Antworten auf die häufigsten Fragen zu Primzahlen.

Wie viele Primzahlen gibt es bis 100? Die vollständige Liste und die Zähllogik

Von 1 bis 100 gibt es genau 25 Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Das zeigt, wie die Dichte der Primzahlen unter größeren Zahlen allmählich abnimmt: Zwischen 1 und 1.000 gibt es 168 Primzahlen, und zwischen 1 und 10.000 sind es 1.229.

Gib im Reiter „Bereich durchsuchen” oben einen beliebigen Start- und Endwert ein, und das Tool berechnet sofort mit dem Sieb des Eratosthenes die Liste und die Gesamtanzahl; du kannst das Ergebnis kopieren oder als .txt-Datei herunterladen.

Wie kann man schnell erkennen, ob eine sehr große Zahl prim ist?

Eine 15- bis 18-stellige Zahl per Probedivision zu testen, kann Prüfungen bis zur Quadratwurzel erfordern — potenziell Milliarden davon —, was praktisch zu langsam ist. Stattdessen prüft der Miller-Rabin-Test die Zahl per modularer Exponentiation gegen eine Reihe bestimmter „Zeugen”-Werte; mit der richtigen Zeugenmenge liefert er bis zu einem bekannten Bereich (in diesem Tool 18 Stellen) ein sicheres Ergebnis.

Ist die Zahl zusammengesetzt, findet der Pollard-Rho-Algorithmus mit weit weniger Operationen einen Faktor, als die Probedivision bei einer großen zusammengesetzten Zahl benötigen würde; die gefundenen Faktoren werden dann rekursiv bis zu ihren eigenen Primfaktoren weiter zerlegt.

Praktische Anwendungen von Primzahlen und Faktorisierung

Primzahlen bilden die Grundlage moderner Kryptografie: Verfahren wie RSA beruhen darauf, dass die Multiplikation zweier großer Primzahlen einfach ist, während die Faktorisierung dieses Produkts zurück in seine Primbestandteile — für hinreichend große Zahlen — extrem schwierig ist.

Im Alltag liegt die Primfaktorzerlegung außerdem der Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von Zahlen zugrunde, dem Kürzen von Brüchen und der Berechnung, wann sich periodische Ereignisse als Nächstes wiederholen.

Häufig gestellte Fragen

Was ist eine Primzahl?

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Zahlen wie 2, 3, 5, 7, 11, 13 sind prim. Jede Primzahl außer 2 ist ungerade; 2 ist die einzige gerade Primzahl. Zahlen größer als 1, die nicht prim sind, heißen zusammengesetzt; 1 ist weder prim noch zusammengesetzt.

Wie erkennt man, ob eine Zahl eine Primzahl ist?

Die einfachste Methode ist zu prüfen, ob die Zahl durch irgendeine Zahl von 2 bis zu ihrer Quadratwurzel glatt teilbar ist (Probedivision); teilt keine davon glatt, ist sie prim. Das wird bei sehr großen Zahlen langsam, weshalb dieses Tool bei ihnen automatisch zu einem schnellen Miller-Rabin-basierten Test wechselt.

Wie findet man die Primfaktorzerlegung einer Zahl?

Beginnend mit der kleinsten Primzahl (2) teilt man die Zahl wiederholt, bis sie nicht mehr glatt teilbar ist, und geht dann zur nächsten Primzahl über (3, 5, 7...); dies wird fortgesetzt, bis der verbleibende Quotient 1 ist. Das Ergebnis wird als Exponentialprodukt geschrieben: zum Beispiel 360 = 2³ × 3² × 5. Diese Zerlegung ist für jede Zahl eindeutig (abgesehen von der Reihenfolge).

Welche Primzahlen gibt es von 1 bis 100?

Von 1 bis 100 gibt es 25 Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Die kleinste ist 2, die größte bis 100 ist 97.

Was ist das Sieb des Eratosthenes?

Ein Algorithmus aus dem 3. Jahrhundert v. Chr. zum Finden aller Primzahlen bis zu einer gegebenen Grenze. Beginnend bei 2 werden die Vielfachen jeder Primzahl gestrichen; alle unmarkiert gebliebenen Zahlen sind prim. Einfach, aber bei großen Bereichen extrem schnell.

Wie findet man die Teiler einer Zahl?

Zerlege die Zahl zunächst in Primfaktoren und multipliziere dann jede mögliche Kombination der Exponenten dieser Faktoren. Zum Beispiel hat 12 = 2² × 3 die Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 12 (sechs Teiler). Formel für die Teileranzahl: addiere 1 zum Exponenten jeder Primzahl und multipliziere die Ergebnisse; für 12 ist das (2+1)×(1+1)=6.

Was sind Primzahlzwillinge?

Paare von Primzahlen, die sich um genau 2 unterscheiden: (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31) und so weiter. Ob unendlich viele Primzahlzwillinge existieren (die Primzahlzwillingsvermutung), ist in der Mathematik noch immer ein unbewiesenes offenes Problem.

Warum gilt 1 nicht als Primzahl?

Per Definition hat eine Primzahl genau zwei verschiedene positive Teiler (1 und sich selbst); der einzige Teiler von 1 ist 1 selbst. Würde man 1 zudem als Primzahl betrachten, würde die Regel „jede Zahl hat eine eindeutige Primfaktorzerlegung” nicht mehr gelten. Deshalb wird 1 als weder prim noch zusammengesetzt behandelt.

Wie findet man die Teilersumme einer Zahl (σ)?

Die Summe aller positiven Teiler, σ(n), findet man, indem man die Zahl in Primfaktoren zerlegt und für jede Primzahl die Werte (p^Exp+1−1)/(p−1) multipliziert. Zum Beispiel gilt für 12 = 2² × 3: σ = 7 × 4 = 28 (also 1+2+3+4+6+12). Dieses Tool zeigt σ auf der Ergebniskarte an; Zahlen, deren Teilersumme (ohne sich selbst) ihnen selbst entspricht, heißen vollkommene Zahlen.

Was ist der kleinste Multiplikator, der eine Zahl zu einer Quadrat- oder Kubikzahl macht?

Sind die Primexponenten einer Zahl alle gerade, ist sie eine Quadratzahl; sind sie alle Vielfache von 3, ist sie eine Kubikzahl. Um sie zu einer Quadratzahl zu vervollständigen, multipliziere mit den Primzahlen mit ungeradem Exponenten; um sie zu einer Kubikzahl zu vervollständigen, multipliziere mit dem, was jeden Exponenten auf das nächste Vielfache von 3 bringt. Zum Beispiel ist 12 = 2² × 3 keine Quadratzahl; multipliziert man mit 3, erhält man 36 = 6², eine Quadratzahl. Das Tool zeigt diesen kleinsten Multiplikator für zusammengesetzte Zahlen automatisch an.

Methodik & Quellen

ToolPicos Primfaktorzerlegung-Rechner ist ein kostenloses, vollständig browserbasiertes zahlentheoretisches Tool. Die Ergebnisse sind keine Schätzungen — sie sind algorithmisch und exakt. Bei kleinen Zahlen kommt die klassische Probedivision zum Einsatz; bei großen Zahlen ein deterministischer Miller-Rabin-Primzahltest mit 12 Zeugenwerten (diese Zeugenmenge ist so gewählt, dass sie im getesteten Bereich keine falsch positiven Ergebnisse liefert). Große zusammengesetzte Zahlen werden mit dem Pollard-Rho-Algorithmus faktorisiert. Bereichsdurchsuchungen nutzen das Sieb des Eratosthenes, und der Mersenne-Primzahltest verwendet den Lucas-Lehmer-Algorithmus.

Quellen/Grundlage: Fundamentalsatz der Arithmetik · Miller-Rabin-Primzahltest · Pollard-Rho-Faktorisierungsalgorithmus · Sieb des Eratosthenes · Lucas-Lehmer-Test. Diese Konzepte sind zeitlos und ändern sich nicht. Zuletzt aktualisiert: 22. Juli 2026.

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Was ist eine Primzahl, und wie testet und faktorisiert man sie?

Wie erkennt man, ob eine Zahl eine Primzahl ist?

Wie findet man die Primfaktorzerlegung einer Zahl?

Welche Primzahlen gibt es von 1 bis 100?

Was ist das Sieb des Eratosthenes?

Was bedeutet es, dass zwei Zahlen teilerfremd sind?

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