nCr ou nPr? Como escolher a fórmula certa (com exemplos)

«De quantas formas posso escolher 3 pessoas entre 10?» A resposta muda consoante a ordem importe ou não — e é aí que a maioria das pessoas se engana entre combinação e permutação. Este guia mostra como decidir em segundos, com exemplos reais e a calculadora que faz as contas por ti.

A pergunta que decide tudo: a ordem importa?

Resposta rápida Se trocar a ordem dos elementos escolhidos produz um resultado diferente na prática, o problema é de permutação (nPr). Se o resultado é o mesmo independentemente da ordem, é de combinação (nCr).

Imagina que uma associação com 10 sócios vai eleger uma direção de 3 pessoas: presidente, tesoureiro e secretário. Como cada cargo é diferente, escolher «Ana, depois Beatriz, depois Carlos» dá um resultado distinto de «Beatriz, depois Ana, depois Carlos» — mesmo sendo as mesmas 3 pessoas. Isto é uma permutação: 10P3 = 720 disposições possíveis.

Agora imagina que a mesma associação vai só formar uma comissão de 3 pessoas sem cargos distintos. Neste caso, «Ana, Beatriz, Carlos» é exatamente o mesmo grupo que «Beatriz, Ana, Carlos» — a ordem é irrelevante. Isto é uma combinação: 10C3 = 120 grupos possíveis. Repara que 720 = 120 × 3! (3! = 6), o que ilustra a relação direta entre as duas fórmulas.

Nota: os números 720 e 120 usados aqui são exemplos ilustrativos de um cenário hipotético (uma associação com 10 sócios) — não são estatísticas reais de nenhuma organização.

As fórmulas de nCr e nPr lado a lado

Permutação (nPr): nPr = n! / (n−r)! — conta disposições ordenadas.
Combinação (nCr): nCr = n! / (r! × (n−r)!) — conta seleções sem ordem.

A calculadora ToolPico calcula ambas ao mesmo tempo a partir dos mesmos valores de n e r, e mostra o desenvolvimento fatorial passo a passo — útil para conferir manualmente ou para fins de estudo. A tabela seguinte compara alguns valores de exemplo com n = 10:

r	10Pr	10Cr	Razão (r!)
1	10	10	1
2	90	45	2
3	720	120	6
4	5.040	210	24

A calculadora também tem um separador «Comparar» que gera esta mesma tabela automaticamente para qualquer n até 12 linhas, além de um separador «Comb. repetida» para casos em que se pode escolher o mesmo tipo mais do que uma vez (por exemplo, 5 peças de fruta entre 3 variedades disponíveis, com repetição permitida).

Mesas redondas e colares: um caso especial

Resposta rápida Numa disposição circular, como rodar o círculo inteiro dá o mesmo arranjo, divide-se n! por n: o resultado é (n−1)!. Para colares/pulseiras, em que a versão espelhada também conta como igual, divide-se ainda por 2.

Um exemplo prático: sentar 6 convidados à volta de uma mesa redonda não é o mesmo problema que sentá-los numa fila. Numa fila, teríamos 6! = 720 disposições. Mas numa mesa redonda, rodar todos os convidados um lugar para a direita produz, na prática, o mesmo arranjo relativo — por isso divide-se por 6, dando (6−1)! = 5! = 120 disposições distintas. A calculadora ToolPico tem um separador «Circular» dedicado exatamente a este tipo de pergunta, incluindo a variante colar/pulseira.

Quando os fatoriais ficam enormes

Resposta rápida A partir de 171!, uma calculadora normal (em vírgula flutuante) já não consegue representar o número e mostra «Infinity». A ferramenta ToolPico usa BigInt para calcular esses valores com precisão exata, dígito a dígito.

Isto pode parecer um detalhe técnico, mas importa em problemas reais: contar as disposições possíveis de um baralho de 52 cartas (52!) já é um número com 68 dígitos. Qualquer cálculo intermédio que passe por fatoriais grandes (por exemplo, permutações com repetição sobre listas longas) beneficia de aritmética exata em vez de arredondamento. Por isso a ferramenta permite alternar a truncagem de números longos, e ainda oferece copiar o número completo ou exportar a lista de combinações/permutações reais para .txt ou .csv.

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Perguntas frequentes

Como sei se devo usar nCr ou nPr?

Pergunta a ti mesmo: a ordem dos elementos escolhidos importa? Se sim (por exemplo, quem fica em 1.º e quem fica em 2.º lugar), usa permutação (nPr). Se não (por exemplo, escolher um grupo de pessoas sem distinguir papéis), usa combinação (nCr). Um truque rápido: se trocar a ordem dos elementos escolhidos cria um resultado diferente na prática, é permutação.

Qual é a fórmula de nCr e nPr?

nPr = n! / (n−r)! para permutações (com ordem). nCr = n! / (r! × (n−r)!) para combinações (sem ordem). Para os mesmos n e r, nPr é sempre r! vezes maior do que nCr, porque cada seleção de nCr pode ser ordenada de r! formas diferentes.

O que acontece quando os fatoriais ficam demasiado grandes?

O JavaScript e a maioria das calculadoras usam números de vírgula flutuante, que ultrapassam o limite de precisão a partir de 171! e mostram apenas «Infinity». A calculadora ToolPico usa BigInt, que preserva precisão inteira exata mesmo com milhares de dígitos, por isso os resultados continuam corretos para além desse ponto.

Como se calcula uma disposição em mesa redonda ou colar?

Numa mesa redonda, como rodar toda a disposição dá o mesmo arranjo relativo, a contagem linear n! é dividida por n, dando (n−1)! disposições distintas. Num colar ou pulseira, em que a versão espelhada também conta como igual, divide-se ainda por 2, dando (n−1)!/2.

O que é a combinação com repetição e quando se usa?

A combinação com repetição serve quando se escolhe r itens de n tipos, podendo repetir o mesmo tipo mais do que uma vez, sem importar a ordem — por exemplo, escolher 5 peças de fruta entre 3 variedades disponíveis. A fórmula é C(n+r−1, r).

Guias relacionados

Nota de metodologia: os exemplos numéricos deste artigo (associações, mesas redondas, baralhos de cartas) são cenários ilustrativos usados para explicar as fórmulas de combinatória, e não estatísticas reais de qualquer organização. Este conteúdo tem fins informativos e educativos; para decisões formais (concursos, sorteios, contextos legais), confirma sempre os requisitos específicos aplicáveis.

nCr ou nPr? Como saber qual fórmula usar em cada problema