Comment résoudre une proportion et simplifier un ratio, étape par étape
Vous avez trois valeurs et il en manque une quatrième ? Ou un ratio du type 12:18 à réduire à sa forme la plus simple ? Voici la méthode du produit en croix, la différence entre proportion directe et inverse, et comment lire un ratio en pourcentage ou en fraction — avec des exemples chiffrés à chaque étape.
Résoudre une proportion par produit en croix
Réponse rapideUne proportion est l'égalité de deux ratios : A/B = C/D. Pour trouver la valeur manquante, multipliez en croix — A × D = B × C — puis isolez l'inconnue en divisant. Si D est inconnu : D = (B × C) / A.
C'est la technique la plus courante en mathématiques scolaires comme dans la vie quotidienne : convertir une recette, ajuster un plan à l'échelle, ou vérifier un prix au kilo. Le principe reste le même quel que soit le contexte — dès que deux ratios sont censés être égaux, le produit en croix retrouve le terme manquant.
Exemple concret : 2 kg de pommes coûtent 10 €. Combien coûtent 5 kg ? On pose 2/10 = 5/x, donc x = (10 × 5) / 2 = 25 €. La constante de ratio ici est 5 € par kilo — elle reste identique pour n'importe quelle quantité, ce qui est la signature d'une proportion directe.
| Poids (kg) | Prix (€, exemple) |
|---|
| 2 | 10 |
| 3 | 15 |
| 5 | 25 |
| 8 | 40 |
Tableau à titre d'illustration — à adapter avec vos propres prix, qui varient selon le magasin et la saison.
Proportion directe vs proportion inverse : ne pas confondre
Réponse rapideEn proportion directe, les deux quantités montent et descendent ensemble (A/B = C/D). En proportion inverse, quand l'une augmente, l'autre diminue au même rythme, et c'est le produit qui reste constant : A × B = C × D. Le produit en croix ne s'applique qu'à la proportion directe.
L'erreur la plus fréquente est d'appliquer le produit en croix à un problème de proportion inverse. Exemple typique : si 6 ouvriers terminent un chantier en 12 jours, combien de temps faudra-t-il à 8 ouvriers, à rythme de travail égal ? On pose 6 × 12 = 8 × x, soit x = 72 / 8 = 9 jours. Plus d'ouvriers signifie moins de jours — c'est le signe d'une relation inverse, pas directe.
À retenir : vitesse et temps de trajet (à distance fixe), nombre d'ouvriers et durée du travail, ou nombre de robinets et temps de remplissage sont des cas classiques de proportion inverse.
Simplifier un ratio et le convertir en pourcentage ou fraction
Réponse rapidePour simplifier un ratio, divisez chaque terme par leur plus grand commun diviseur (PGCD). Le PGCD de 12 et 18 est 6, donc 12:18 devient
2:3. Pour un ratio décimal, multipliez d'abord chaque terme par une puissance de 10 pour obtenir des entiers avant de simplifier.
Une fois le ratio simplifié, il peut être lu de plusieurs façons utiles : en fraction (2/3), en décimal (0,667) ou en pourcentage relatif (2 représente environ 40 % du total 2+3=5, et 3 environ 60 %). C'est notamment pratique pour des ratios d'écran (1920:1080 se simplifie en 16:9) ou pour répartir un montant entre plusieurs personnes selon des parts inégales.
Le même principe s'étend à un ratio à plus de deux termes, comme 2:3:4:5 — on divise simplement chaque terme par le PGCD commun aux quatre valeurs.
Proportion composée : quand plusieurs facteurs jouent en même temps
Réponse rapideUne proportion composée s'applique quand un résultat dépend de plusieurs facteurs à la fois, certains liés directement, d'autres inversement. On multiplie le ratio nouveau/ancien (relation directe) ou ancien/nouveau (relation inverse) pour chaque facteur.
Exemple : si 4 ouvriers produisent 120 unités en 6 heures, combien 6 ouvriers produisent-ils en 8 heures ? Le nombre d'ouvriers et le nombre d'heures sont tous deux directement liés à la production. Résultat = 120 × (6/4) × (8/6) = 240 unités (exemple à titre illustratif). Ce type de calcul revient souvent en logistique, en planification de chantier ou en gestion de production.
Questions fréquentes
Comment résout-on une proportion ?
Une proportion est l'égalité de deux ratios : A/B = C/D. Pour trouver la valeur manquante à partir de trois termes connus, utilisez le produit en croix : A × D = B × C. Puis isolez l'inconnue — par exemple, si D est inconnu, D = (B × C) / A. Dans une proportion inverse, les produits sont égaux à la place : A × B = C × D.
Qu'est-ce qu'une proportion directe ?
Une proportion directe est une relation où deux quantités augmentent ensemble et diminuent ensemble au même rythme. Leurs ratios restent constants : A/B = C/D = k. Par exemple, si 2 kg de pommes coûtent 10 €, alors 4 kg coûtent 20 € — le poids et le prix sont directement proportionnels.
Quel est un exemple de proportion inverse ?
Dans une proportion inverse, quand une quantité augmente, l'autre diminue au même rythme ; leur produit reste constant : A × B = C × D. Exemple : si 6 ouvriers terminent un travail en 12 jours, combien de temps prendront 8 ouvriers ? 6 × 12 = 8 × D → D = 72 / 8 = 9 jours. Plus d'ouvriers signifie moins de temps.
Comment simplifie-t-on un ratio ?
Pour simplifier un ratio, divisez chaque terme par leur plus grand commun diviseur (PGCD). Par exemple, le PGCD de 12:18 est 6, donc diviser chaque terme par 6 donne 2:3. Pour les ratios décimaux, multipliez d'abord chaque terme par une puissance de 10 pour en faire des nombres entiers.
Qu'est-ce qu'une proportion composée et à quoi sert-elle ?
Une proportion composée est quand un résultat dépend de plusieurs facteurs à la fois, certains directement liés, d'autres inversement. Exemple : si 4 ouvriers produisent 120 unités en 6 heures, combien 6 ouvriers produisent-ils en 8 heures ? Résultat = 120 × (6/4) × (8/6) = 240 unités.
Guides liés
Méthodologie : les formules et exemples de cet article suivent les définitions mathématiques standard du ratio et de la proportion (produit en croix, égalité des produits pour la proportion inverse, PGCD pour la simplification). Les chiffres utilisés dans les exemples sont fournis à titre illustratif uniquement et ne constituent pas des données réelles de prix ou de production — cet article est fourni à titre informatif et ne remplace pas un avis professionnel spécifique à votre situation.