Vous tapez un nombre — pour un devoir, une vérification de code, ou simple curiosité mathématique — et vous voulez savoir s'il est premier, quels sont ses facteurs premiers, ou s'il partage un diviseur commun avec un autre nombre. Voici la méthode, avec des exemples concrets.
Qu'est-ce qu'un nombre premier ?
Réponse courte : un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même. 2, 3, 5, 7, 11, 13... sont premiers. Tout ce qui n'est ni premier ni égal à 1 est dit « composé ».
Cette définition simple a une conséquence importante, connue sous le nom de théorème fondamental de l'arithmétique : tout entier supérieur à 1 se décompose de façon unique en un produit de nombres premiers. C'est cette propriété qui rend les nombres premiers si utiles — en cryptographie, en théorie des nombres, et même dans des problèmes de partage ou de cycles en calendrier.
À savoir : 2 est le seul nombre premier pair. Tous les autres nombres premiers sont impairs, puisque tout nombre pair supérieur à 2 est divisible par 2 et n'est donc pas premier.
Comment tester si un nombre est premier
Réponse courte : pour un petit nombre, essayez de le diviser par chaque entier de 2 jusqu'à sa racine carrée. Si aucun ne divise exactement, il est premier. Pour un grand nombre, cette méthode devient trop lente et on utilise un test de primalité comme Miller-Rabin, qui donne une réponse fiable presque instantanément.
Prenons un exemple concret : pour savoir si 97 est premier, il suffit de tester les diviseurs jusqu'à √97 ≈ 9,8, donc jusqu'à 9. Aucun des nombres 2, 3, 5, 7 ne divise 97 exactement — 97 est donc premier. Pour un nombre à 15 ou 18 chiffres, tester manuellement chaque diviseur jusqu'à sa racine carrée prendrait un temps déraisonnable ; c'est pourquoi des algorithmes comme Miller-Rabin (associé à l'algorithme rho de Pollard pour la factorisation) sont utilisés en pratique pour obtenir un résultat en une fraction de seconde.
Le calculateur de factorisation en nombres premiers de ToolPico applique cette logique automatiquement : division par essai pour les petits nombres, test rapide pour les grands, jusqu'à 18 chiffres.
Décomposer un nombre en facteurs premiers
Réponse courte : divisez le nombre par le plus petit nombre premier possible, de façon répétée, puis passez au suivant (2, puis 3, puis 5, puis 7...) jusqu'à ce qu'il ne reste plus que 1. Écrivez ensuite le résultat sous forme exponentielle, par exemple 360 = 2³ × 3² × 5.
Voici, à titre d'exemple, quelques factorisations pour illustrer la méthode :
Exemples de factorisation en nombres premiers
| Nombre | Premier ? | Factorisation |
|---|
| 36 | Non | 2² × 3² |
| 97 | Oui | 97 |
| 360 | Non | 2³ × 3² × 5 |
| 1 000 | Non | 2³ × 5³ |
Une fois la factorisation connue, on peut aussi en déduire directement la liste des diviseurs du nombre et leur nombre total — le calculateur ToolPico affiche ces deux informations automatiquement, avec un arbre visuel des étapes de factorisation.
Lister tous les nombres premiers d'une plage (crible d'Ératosthène)
Réponse courte : le crible d'Ératosthène, un algorithme datant du IIIe siècle av. J.-C., élimine les multiples de chaque nombre premier trouvé, en partant de 2 ; ce qui reste non éliminé est premier. C'est la méthode la plus rapide pour lister tous les nombres premiers d'une plage donnée.
Par exemple, il existe 25 nombres premiers entre 1 et 100 (le plus grand étant 97), et — à titre d'illustration — de l'ordre de 168 nombres premiers entre 1 et 1 000. Plutôt que de tester chaque nombre un par un, l'onglet « Analyser une plage » du calculateur applique le crible directement, pour des plages allant jusqu'à 2 000 000.
Que veut dire « premiers entre eux » pour deux nombres ?
Réponse courte : deux nombres sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1 — c'est-à-dire que leur PGCD (plus grand commun diviseur) vaut 1 — même si aucun des deux n'est un nombre premier lui-même.
Exemple concret : 8 et 15 sont premiers entre eux, car leurs facteurs premiers respectifs (2³ pour 8, et 3×5 pour 15) n'ont rien en commun, donc PGCD(8, 15) = 1. En revanche, 8 et 12 ne sont pas premiers entre eux car ils partagent le facteur 4 (PGCD = 4). Ce calcul repose sur l'algorithme d'Euclide, la même méthode utilisée pour trouver le PGCD et le PPCM de deux nombres.
Testez un nombre, factorisez-le, ou vérifiez s'il est premier entre eux avec un autre — gratuitement, dans votre navigateur.
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Questions fréquentes
Comment savoir rapidement si un nombre est premier ?
Pour un petit nombre, testez la division par tous les entiers de 2 jusqu'à sa racine carrée : si aucun ne divise exactement, il est premier. Pour un grand nombre (15 chiffres et plus), cette méthode devient trop lente, et un test comme Miller-Rabin donne une réponse instantanée et fiable — c'est ce que fait automatiquement le calculateur de factorisation en nombres premiers de ToolPico.
Comment écrire la factorisation en nombres premiers d'un nombre ?
Divisez le nombre par le plus petit nombre premier possible (2, puis 3, puis 5...) de façon répétée jusqu'à ce que le quotient ne se divise plus, puis passez au nombre premier suivant. Le résultat s'écrit comme un produit avec des exposants, par exemple 360 = 2³ × 3² × 5. Cette décomposition est unique pour chaque nombre entier.
Qu'est-ce que le crible d'Ératosthène et à quoi sert-il ?
C'est un algorithme du IIIe siècle av. J.-C. qui élimine, à partir de 2, tous les multiples de chaque nombre premier trouvé ; les nombres non éliminés sont premiers. Il permet de lister très rapidement tous les nombres premiers d'une plage donnée, par exemple tous ceux entre 1 et 1 000.
Que signifie que deux nombres sont premiers entre eux ?
Deux nombres sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1, c'est-à-dire si leur PGCD vaut 1 — sans qu'aucun des deux ne soit forcément un nombre premier lui-même. Par exemple, 8 et 15 sont premiers entre eux même si ni 8 ni 15 n'est premier.
Pourquoi 1 n'est-il pas un nombre premier ?
Un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même. Le nombre 1 n'a qu'un seul diviseur : lui-même. Il est donc classé à part, ni premier ni composé.
Note méthodologique : les exemples chiffrés de ce guide (nombre de nombres premiers dans une plage, exemples de factorisation) sont fournis à titre illustratif pour expliquer la méthode ; pour un nombre précis, utilisez directement le calculateur. Ce contenu est fourni à titre informatif et éducatif uniquement, sans garantie d'exhaustivité.