Sinus, Kosinus, Tangens richtig berechnen
sin(30) = 0,5, im Radiant-Modus sin(π/6) = 0,5 — beides derselbe Winkel, nur anders gemessen. Für die Umkehrung nutzt man sin⁻¹, cos⁻¹ oder tan⁻¹, um aus einem Verhältnis wieder einen Winkel zu machen.Die häufigste Fehlerquelle bei trigonometrischen Berechnungen ist nicht die Formel, sondern der falsch eingestellte Winkelmodus. Ein Taschenrechner oder ein Online-Rechner weiß nicht von selbst, ob eine eingegebene Zahl ein Winkel in Grad oder in Radiant ist — das muss vorher festgelegt werden. Wer zum Beispiel sin(30) im Radiant-Modus berechnet, erhält ein völlig anderes Ergebnis als im Grad-Modus, weil 30 Radiant mehreren vollen Umdrehungen entspricht.
Ein wissenschaftlicher Rechner mit Tastenfeld löst dieses Problem, indem der Winkelmodus als sichtbarer Schalter oben angezeigt wird (GRAD / RADIANT / GON), bevor überhaupt gerechnet wird. Klammern werden bei Funktionstasten automatisch geöffnet — bei sin( muss man also nur noch den Winkel eintippen und schließen.
| Winkel | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 0,5 | 0,8660 | 0,5774 |
| 45° | 0,7071 | 0,7071 | 1 |
| 60° | 0,8660 | 0,5 | 1,7321 |
| 90° | 1 | 0 | undefiniert |
Beispielsituation: Beim Bau einer Rampe mit 15° Steigungswinkel über eine Grundlänge von 4 Metern lässt sich die Höhe (ein Beispielwert, keine Baustatik) über tan(15) × 4 ≈ 1,07 Meter grob abschätzen — als erste Näherung, nicht als geprüfte Berechnung.
log, ln und log2 auseinanderhalten
log ist der Zehnerlogarithmus (log(1000) = 3), ln ist der natürliche Logarithmus zur Basis e (ln(e) = 1), und log2 ist der Logarithmus zur Basis 2 (log2(8) = 3). Für jede andere Basis gibt es die Funktion logn(Basis;Zahl).log2(8) = 3, weil 2³ = 8.Verwechslungen zwischen log und ln gehören zu den häufigsten Fehlern in Mathematik- und Naturwissenschaftskursen. In vielen Lehrbüchern und Taschenrechnern bezeichnet log ohne weiteren Index den Zehnerlogarithmus, während ln immer den natürlichen Logarithmus zur Basis e ≈ 2,71828 meint. Ein wissenschaftlicher Rechner mit separaten Tasten für ln, log und log2 nimmt einem diese Unsicherheit ab, weil jede Basis eine eigene, eindeutig beschriftete Taste hat.
Für Basen jenseits von 10, e und 2 — etwa Basis 3 oder Basis 5 — kommt die allgemeine Funktion logn(Basis;Zahl) zum Einsatz, bei der die Argumente durch ein Semikolon getrennt werden, zum Beispiel logn(3;81) = 4.
Fakultät, Permutation und Kombination
n! ist das Produkt aus n mit jeder kleineren positiven ganzen Zahl bis 1, zum Beispiel 5! = 120; per Definition gilt 0! = 1. Permutation (geordnete Auswahl): nPr(5;2) = 20. Kombination (ungeordnete Auswahl): nCr(5;2) = 10.Fakultäten tauchen überall dort auf, wo es um Anordnungen oder Auswahlmöglichkeiten geht — von Statistik-Hausaufgaben bis zur Berechnung von Gewinnchancen. Der Unterschied zwischen Permutation und Kombination ist dabei entscheidend: Bei einer Permutation zählt die Reihenfolge (wer Erster, Zweiter, Dritter wird), bei einer Kombination nicht (welche Gruppe von Personen überhaupt ausgewählt wird).
nCr(49;6) = 13.983.816 berechnen — dieser Wert zeigt nur das Rechenprinzip und ist keine Gewinnwahrscheinlichkeits-Beratung.Wichtig: Fakultät, nPr und nCr sind ausschließlich für 0 und positive ganze Zahlen definiert. Ein Rechner mit eigenem Parser gibt bei ungültigen Eingaben (etwa negativen oder nicht-ganzzahligen Werten) einen klaren Fehler statt eines stillschweigend falschen Ergebnisses zurück.
Grad, Radiant und Gon umrechnen
Radiant wirkt auf den ersten Blick unhandlicher als Grad, ist aber in vielen mathematischen Formeln (etwa bei Ableitungen trigonometrischer Funktionen) die natürlichere Einheit. Gon (auch Neugrad genannt) wird seltener verwendet, taucht aber in der Vermessungstechnik auf, weil ein rechter Winkel dort glatt 100 Gon entspricht.
| Grad | Radiant | Gon |
|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 |
| 90° | π/2 ≈ 1,5708 | 100 |
| 180° | π ≈ 3,1416 | 200 |
| 360° | 2π ≈ 6,2832 | 400 |